238 replies to this topic

[PlanBbyFESN]

 

 

Bài 52 rất mạnh. Hình như chỉ có cách dùng BW .

 

Cứ đưa ra đi, trình bày đẹp đẹp tí @

 

---------------------------------------------------------------

 

Phát triển topic nào: 

Bài 58: $a,b,c>0$

CM: $3(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

 

 

Bài 58:  Thực ra bài này không hợp với THCS lắm nên xin giải trước luôn:

 

Theo BĐT mở rộng của Cauchy-Schwarz:

 

$3(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}=(1+1+1)(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

 

p/s: Sao mọi người im vậy? Các bài sau dễ hơn bài trước thì phải @

Edited by PlanBbyFESN, 06-02-2016 - 23:44.

[royal1534]

Phát triển topic nào: 

 

Bài 59:$a,b,c,d\geq 0 ; abcd=1$

CM: $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})(1+d^{2})\geq(a+b+c+d

Lời giải:

Theo nguyên lý dirichlet thì trong 4 số $a,b,c,d$ phải có ít nhất 2 số cùng lớn hơn hoặc bằng 1 hoặc cùng bé hơn hoặc bằng 1,Giả sử 2 số đó là $b$và $d$

$\Rightarrow (b-1)(d-1) \geq 0$

Ta có $VT=(1+a^2+b^2+a^2b^2)(c^2+1+d^2+c^2d^2) \geq (a+c+bd+abcd)^2=(a+c+bd+1)^2$

Vậy ta cần chứng minh $a+c+bd+1 \geq a+b+c+d$

                       $\Leftrightarrow (b-1)(d-1) \geq 0$:Đúng

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$

[anhquannbk]

Phát triển topic nào: 

 

Bài 52: Cho $a, b, c> 0$. CMR:

$\dfrac{\dfrac{a}{b}+1}{\dfrac{b^2}{c^2}+1}+\dfrac{\dfrac{b}{c}+1}{\dfrac{c^2}{a^2}+1}+\dfrac{\dfrac{c}{a}+1}{\dfrac{a^2}{b^2}+1}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 4$

 

Bài 58: $a,b,c>0$

CM: $3(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

 

Bài 59:$a,b,c,d\geq 0 ; abcd=1$

CM: $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})(1+d^{2})\geq(a+b+c+d)^{2}$

 

Bài 60: $x,y,z>0; x+y+z=1$ 

a)  $4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 1$

b)  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{4}$

 

Bài 61:$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=10$

CM:   CM:$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

 

Bài 62:$a,b,c,d>0; ab=cd=1$

CM:  $(a+b)(c+d)+4\geq 2(a+b+c+d)$

 

Bài 63:$a,b,c>0$

CM:   $\frac{ab}{a^{2}+3b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+3c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+3a^{2}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bài 64: Cho a,b,c là các số thực:

CM: $(a^{2}+3)(b^{2}+3)(c^{2}+3)\geq 4(a+b+c+1)^{2}$

 

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=1$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

 

Bài 66: $a,b,c>0$

CM: $\frac{b+c}{a^{2}+bc}+\frac{c+a}{b^{2}+ca}+\frac{a+b}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài 60:

$ 4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 1 $

Đặt $ x+y+z=p, xy+yz+xz=q, xyz=r $

theo đề $ p=1 $

Ta có $ x^{3}+y^{3}+z^{3}=p^{3}-3pq+3r $

Thế vào ta cần cm $ 4(1-3q+3r)+15r\ge 1 $ hay $ 9r-4q+1\ge 0 $

Mạt khác theo BĐT $ Schur $ ta có $ r\ge \dfrac{p(4q-p^{2}}{9}=\dfrac{4q-1}{9} $

Suy ra $ 9r-4q+1\ge 9.\dfrac{4q-1}{9}-4q+1=4q-1-4q+1=0 $

suy ra đpcm, bài b làm tương tự

[anhquannbk]

Phát triển topic nào: 

 

Bài 52: Cho $a, b, c> 0$. CMR:

$\dfrac{\dfrac{a}{b}+1}{\dfrac{b^2}{c^2}+1}+\dfrac{\dfrac{b}{c}+1}{\dfrac{c^2}{a^2}+1}+\dfrac{\dfrac{c}{a}+1}{\dfrac{a^2}{b^2}+1}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 4$

 

Bài 58: $a,b,c>0$

CM: $3(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

 

Bài 59:$a,b,c,d\geq 0 ; abcd=1$

CM: $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})(1+d^{2})\geq(a+b+c+d)^{2}$

 

Bài 60: $x,y,z>0; x+y+z=1$ 

a)  $4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 1$

b)  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{4}$

 

Bài 61:$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=10$

CM:   CM:$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

 

Bài 62:$a,b,c,d>0; ab=cd=1$

CM:  $(a+b)(c+d)+4\geq 2(a+b+c+d)$

 

Bài 63:$a,b,c>0$

CM:   $\frac{ab}{a^{2}+3b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+3c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+3a^{2}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bài 64: Cho a,b,c là các số thực:

CM: $(a^{2}+3)(b^{2}+3)(c^{2}+3)\geq 4(a+b+c+1)^{2}$

 

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=1$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

 

Bài 66: $a,b,c>0$

CM: $\frac{b+c}{a^{2}+bc}+\frac{c+a}{b^{2}+ca}+\frac{a+b}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài 64:

$ (a^{2}+3)(b^{2}+3)(c^{2}+3)\ge 4(a+b+c+1)^{2} $

Khai triển 2 vế và rút gọn ta được

$ a^{2}b^{2}c^{2}+3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})+5(a^{2}+b^{2}+c^{2})+23 \ge 8(a+b+c)+8(ab+bc+ac) $

Xét các bộ $  ,(-a;-b;-c),(-a;-b,c),(-a;b;-c),(a;-b;-c),(-a;b;c),(a;-b;c),(a;b;-c) $.  Ta nhận xét rằng với mỗi bộ số thay đổi trong các bộ số trên thì đại lượng vế trái không thay đổi và đại lượng vế phải thay đổi và đại lượng vế phải thay đổi luôn nhỏ hơn vế phải của trường hợp với bộ ba số không âm. (Tức là nếu đúng với bộ (a;b;c) không âm thì cũng sẽ đúng với các bộ còn lại) 

Do đó ta chỉ cần chứng minh với trường hợp ba số $ a,b,c $ không âm

Ta có $ a^{2}b^{2}+1\ge 2ab, a^{2}c^{2}+1\ge 2ac, b^{2}c^{2}+1\ge 2bc $

Suy ra $ 3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})+9 \ge 6(ab+bc+ac) $ (1)

Ta có: $ a^{2}b^{2}c^{2}+1+1\ge 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}} \ge \dfrac{9abc}{a+b+c}$ vì $ a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc} $

Mặt khác theo BĐT $ Schur $ ta có: $ (a+b+c)^{3}+9abc \ge 4(a+b+c)(ab+bc+ac) $

Suy ra $ \dfrac{9abc}{a+b+c} \ge 4(ab+bc+ac)-(a+b+c)^{2} $

Suy ra $ a^{2}b^{2}c^{2}+2\ge 4(ab+bc+ac)-(a+b+c)^{2} $ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra

$ a^{2}b^{2}c^{2}+3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})+5(a^{2}+b^{2}+c^{2})+23=(a^{2}b^{2}c^{2}+2)+3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})+9 +5(a^{2}+ab^{2}+c^{2}) +12 \ge 4(ab+bc+ac)-(a+b+c)^{2}+6(ab+bc+ac)+ 5(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12= 8(ab+bc+ac)+4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12 $

Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh

$ 8(ab+bc+ac)+4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12 \ge 8(a+b+c)+8(ab+bc+ac) $

Điều này tương đương với $ (a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2} \ge 0 $ (đúng)

Vậy bđt được chứng minh

Dấu $ = $ xảy ra khi $ a=b=c=1 $

Edited by anhquannbk, 07-02-2016 - 14:06.

[longatk08]

Bài 67: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a,b,c \geq 1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 2$.Chứng minh rằng:

 

$$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\geq \frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{abc}}$$

[luukhaiuy]

cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$

Edited by luukhaiuy, 07-02-2016 - 18:44.

[leanh9adst]

Bài tập: Cho a,b,c,d>0. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{b+c+d}+ \frac{b^2+c^2+d^2}{c+d+a} + \frac{c^2+d^2+a^2}{d+a+b}+\frac{d^2+a^2+b^2}{a+b+c}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

Edited by leanh9adst, 07-02-2016 - 20:13.

[luukhaiuy]

Phát triển topic nào: 

 

Bài 52: Cho $a, b, c> 0$. CMR:

$\dfrac{\dfrac{a}{b}+1}{\dfrac{b^2}{c^2}+1}+\dfrac{\dfrac{b}{c}+1}{\dfrac{c^2}{a^2}+1}+\dfrac{\dfrac{c}{a}+1}{\dfrac{a^2}{b^2}+1}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 4$

 

Bài 58: $a,b,c>0$

CM: $3(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

 

Bài 59:$a,b,c,d\geq 0 ; abcd=1$

CM: $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})(1+d^{2})\geq(a+b+c+d)^{2}$

 

Bài 60: $x,y,z>0; x+y+z=1$ 

a)  $4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 1$

b)  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{4}$

 

Bài 61:$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=10$

CM:   CM:$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

 

Bài 62:$a,b,c,d>0; ab=cd=1$

CM:  $(a+b)(c+d)+4\geq 2(a+b+c+d)$

 

Bài 63:$a,b,c>0$

CM:   $\frac{ab}{a^{2}+3b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+3c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+3a^{2}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bài 64: Cho a,b,c là các số thực:

CM: $(a^{2}+3)(b^{2}+3)(c^{2}+3)\geq 4(a+b+c+1)^{2}$

 

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=1$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

 

Bài 66: $a,b,c>0$

CM: $\frac{b+c}{a^{2}+bc}+\frac{c+a}{b^{2}+ca}+\frac{a+b}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

61,

áp dụng BDT Cauchy- Schwarz ta có

$(a^2+b^2+c^2)\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

và $(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{3}$

do đó $(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}.\frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{3}$

hay VT$\geq \frac{100}{9}$

suy ra DPCM

p/s mình nghĩ đề phải là $\frac{100}{9}$ chứ nhỉ

62,

BDT cần CM tương đương với (a+b)(c+d)+4$\geq$2(a+b+c+d)

hay $(a+b)(c+d)-2(a+b)+4-2(c+d)\geq 0$

hay $(a+b)(c+d-2)-2(c+d-2)\geq 0$

hay $(a+b-2)(c+d-2)\geq$(1)

ma ab=cd=1 nen $a+b\geq 2\sqrt{ab}=2$

                             $c+d\geq 2\sqrt{cd}=2$

suy ra (1) luôn đúng

suy ra DPCM

[PlanBbyFESN]

Những bài chưa có lời giải:

 

 

Bài 60: $x,y,z\geq 0; x+y+z=1$

a)  $4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 1$

b)  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{4}$

 

Bài 61:$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=10$

CM:  $(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

 

Bài 63:$a,b,c>0$

CM:   $\frac{ab}{a^{2}+3b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+3c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+3a^{2}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=3$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

 

Bài 66: $a,b,c>0$

CM: $\frac{b+c}{a^{2}+bc}+\frac{c+a}{b^{2}+ca}+\frac{a+b}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

 

Bài 69: Cho a,b,c,d>0. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{b+c+d}+ \frac{b^2+c^2+d^2}{c+d+a} + \frac{c^2+d^2+a^2}{d+a+b}+\frac{d^2+a^2+b^2}{a+b+c}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

 

 

Bài 68: Cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$

 

 

Bài 67: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a,b,c \geq 1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 2$.Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\geq \frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{abc}}$

 

P/S: những bài giải theo pqr các bạn có thể tìm cách khác, bài 61 để mình xem lại (chắc không sai đề đâu, bạn thử check đi)

 

P/S lần nữa: Những bài viết PHẢI đánh số thứ tự !

                     Làm bài nào thì chỉ trích dẫn bài đó thôi, đừng đưa cả xấu page!

Edited by PlanBbyFESN, 10-02-2016 - 18:27.

[PlanBbyFESN]

Những bài chưa có lời giải:

 

Bài 60: $x,y,z>0; x+y+z=1$ 

a)  $4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 1$

b)  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{4}$

 

Bài 60:

a)

 

Ta có phân tích sau đây để quy về đồng bậc:

 

$1=(x+y+z)^{3}=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3\left [ xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) \right ] +6xyz$

 

Nên ta chỉ cần chứng minh:

 

$4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}+3\left [ xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) \right ] +6xyz$

 

$\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$

..........................................

 

b) BĐT $\Leftrightarrow 4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+24xyz\geq 1$

 

Vận dụng kết quả bài trên, ta có:

 

$4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+24xyz\geq 4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 1$

 

$\Rightarrow$ ĐPCM

[PlanBbyFESN]

Những bài chưa có lời giải:

 

Bài 66: $a,b,c>0$

CM: $\frac{b+c}{a^{2}+bc}+\frac{c+a}{b^{2}+ca}+\frac{a+b}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

 

Bài 66:

 

$\frac{b+c}{a^{2}+bc}=\frac{(b+c)^{2}}{(a^{2}+bc)(b+c)}=\frac{(b+c)^{2}}{c(a^{2}+b^{2})+b(a^{2}+c^{2})}\leq \frac{b^{2}}{c(a^{2}+b^{2})}+\frac{c^{2}}{b(a^{2}+c^{2})}$

 

Tương tự các số còn tại cộng vế theo vế $\Rightarrow$ ĐPCM

[CaptainCuong]

Không mất tính tổng quát ta giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có:

$a^{3}-5a+2=(a-2)(a^{2}+2a-1)\leq 0$

$b^{3}+5a-5ab-1=(b-1)(b^{2}+b+1-5a)\leq (b-1)(a^{2}+a+1-5a)=(b-1)(a^{2}-4a+1)\leq 0$

$c^{3}+5ab-5abc-1=(c-1)(c^{2}+c+1-5ab)\leq (c-1)(a^{2}+a+1-5a)=(c-1)(a^{2}-4a+1)\leq 0$

Cộng 3 bđt trên lại với nhau$\Rightarrow$ đpcm

1.Làm thế nào để bạn có thể tách như vậy.

2.Có phương pháp chung cho những bài thế này ko?

Mong bạn giúp mình

[NTA1907]

1.Làm thế nào để bạn có thể tách như vậy.

2.Có phương pháp chung cho những bài thế này ko?

Mong bạn giúp mình

1. Đơn giản là bài này mình được thầy cho làm rồi chứ mình thì không thể tự nghĩ ra cách tách hay như thế này

2. Theo mình thì tuỳ từng bài thôi, mình nghĩ với những dạng như thế này thì việc dự đoán dấu = là việc quan trọng nhất, đây là điểm mấu chốt để chúng ta đưa ra cách tách hợp lí

[royal1534]

 

Bài 63:$a,b,c>0$

CM:   $\frac{ab}{a^{2}+3b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+3c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+3a^{2}}\leq \frac{3}{4}$

Bài này không nên đưa vào Topic này vì nó liên quan đến 1 bđt khá khó của Vas  

Lời giải:

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

$VT=\sum \frac{ab}{a^2+b^2+2b^2} \leq \sum \frac{ab}{2\sqrt{2b^2(a^2+b^2)}}=\frac{1}{2\sqrt{2}} \sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+b^2}}$

Ta cần chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+b^2}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}$ 

Đây là bđt đúng và quen thuộc.Các bạn có thể xem chứng minh ở đây

Chứng minh hoàn tất đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Edited by royal1534, 08-02-2016 - 23:00.

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 63:$a,b,c>0$

CM:   $\frac{ab}{a^{2}+3b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+3c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+3a^{2}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bài này có thể chứng minh đơn giản mà không thông qua bổ đề, xem tại đây.

Edited by Nguyenhuyen_AG, 09-02-2016 - 15:20.

[quan1234]

Bài 61:$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=10$

CM:  $(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

 

 

Bài 61

$\sum a\sum \frac{1}{b}=10\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}=7$

Đặt $x=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$, $y=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$

$x+y=7,\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=x^2-2y,\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}= y^2-2x$

$VT=x^2+y^2-2(x+y)+3\geq \frac{(x+y)^2}{2}-2(x+y)+3= \frac{27}{2}$

[PlanBbyFESN]

Những bài chưa có lời giải:

 

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=1$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

 

Bài 69: Cho a,b,c,d>0. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{b+c+d}+ \frac{b^2+c^2+d^2}{c+d+a} + \frac{c^2+d^2+a^2}{d+a+b}+\frac{d^2+a^2+b^2}{a+b+c}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

 

 

Bài 68: Cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$

 

 

Bài 67: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a,b,c \geq 1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 2$.Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\geq \frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{abc}}$

[longatk08]

Bài 70: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{a^3c}{a^3+bc+ca}+\frac{b^3a}{b^3+ca+ab}+\frac{c^3b}{c^3+ab+bc}\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3(a+b+c)^2}$$

Edited by longatk08, 10-02-2016 - 11:39.

[luukhaiuy]

bạn xem lại đề bài 65 đi nếu a=b=c thì VT>1 rùi

[PlanBbyFESN]

bạn xem lại đề bài 65 đi nếu a=b=c thì VT>1 rùi

 

Xin lỗi bạn đã sửa ở trên! Tổng bằng 3!

 

---------------------------------------------------

 

 

Những bài chưa có lời giải:

 

 

 

Bài 70: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:

 

$\frac{a^3c}{a^3+bc+ca}+\frac{b^3a}{b^3+ca+ab}+\frac{c^3b}{c^3+ab+bc}\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3(a+b+c)^2}$

 

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=3$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

 

Bài 69: Cho a,b,c,d>0. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{b+c+d}+ \frac{b^2+c^2+d^2}{c+d+a} + \frac{c^2+d^2+a^2}{d+a+b}+\frac{d^2+a^2+b^2}{a+b+c}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

 

 

Bài 68: Cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$

 

 

Bài 67: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a,b,c \geq 1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 2$.Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\geq \frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{abc}}$

 

 

Bài 71:   $x,y,z>0; x+y+z=1$

CM:  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{3}$         (khá khó)

Edited by PlanBbyFESN, 10-02-2016 - 18:32.