Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức - Cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 238 trả lời

#121
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
 
 

Bài 52 rất mạnh. Hình như chỉ có cách dùng BW .

 

Cứ đưa ra đi, trình bày đẹp đẹp tí @

 

---------------------------------------------------------------

 

Phát triển topic nào: 

Bài 58: $a,b,c>0$

CM: $3(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

 

 

Bài 58:  Thực ra bài này không hợp với THCS lắm nên xin giải trước luôn:

 

Theo BĐT mở rộng của Cauchy-Schwarz:

 

$3(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}=(1+1+1)(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

 

p/s: Sao mọi người im vậy? Các bài sau dễ hơn bài trước thì phải @


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 06-02-2016 - 23:44

:huh:


#122
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Phát triển topic nào: 

 

Bài 59:$a,b,c,d\geq 0 ; abcd=1$

CM: $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})(1+d^{2})\geq(a+b+c+d

Lời giải:

Theo nguyên lý dirichlet thì trong 4 số $a,b,c,d$ phải có ít nhất 2 số cùng lớn hơn hoặc bằng 1 hoặc cùng bé hơn hoặc bằng 1,Giả sử 2 số đó là $b$và $d$

$\Rightarrow (b-1)(d-1) \geq 0$

Ta có $VT=(1+a^2+b^2+a^2b^2)(c^2+1+d^2+c^2d^2) \geq (a+c+bd+abcd)^2=(a+c+bd+1)^2$

Vậy ta cần chứng minh $a+c+bd+1 \geq a+b+c+d$

                       $\Leftrightarrow (b-1)(d-1) \geq 0$:Đúng

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$



#123
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Phát triển topic nào: 

 


Bài 52: Cho $a, b, c> 0$. CMR:

$\dfrac{\dfrac{a}{b}+1}{\dfrac{b^2}{c^2}+1}+\dfrac{\dfrac{b}{c}+1}{\dfrac{c^2}{a^2}+1}+\dfrac{\dfrac{c}{a}+1}{\dfrac{a^2}{b^2}+1}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 4$

 

Bài 58: $a,b,c>0$

CM: $3(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

 

Bài 59:$a,b,c,d\geq 0 ; abcd=1$

CM: $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})(1+d^{2})\geq(a+b+c+d)^{2}$

 

Bài 60: $x,y,z>0; x+y+z=1$ 

a)  $4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 1$

b)  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{4}$

 

Bài 61:$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=10$

CM:   CM:$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

 

Bài 62:$a,b,c,d>0; ab=cd=1$

CM:  $(a+b)(c+d)+4\geq 2(a+b+c+d)$

 

Bài 63:$a,b,c>0$

CM:   $\frac{ab}{a^{2}+3b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+3c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+3a^{2}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bài 64: Cho a,b,c là các số thực:

CM: $(a^{2}+3)(b^{2}+3)(c^{2}+3)\geq 4(a+b+c+1)^{2}$

 

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=1$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

 

Bài 66: $a,b,c>0$

CM: $\frac{b+c}{a^{2}+bc}+\frac{c+a}{b^{2}+ca}+\frac{a+b}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài 60:

$ 4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 1 $

Đặt $ x+y+z=p, xy+yz+xz=q, xyz=r $

theo đề $ p=1 $

Ta $ x^{3}+y^{3}+z^{3}=p^{3}-3pq+3r $

Thế vào ta cần cm $ 4(1-3q+3r)+15r\ge 1 $ hay $ 9r-4q+1\ge 0 $

Mạt khác theo BĐT $ Schur $ ta $ r\ge \dfrac{p(4q-p^{2}}{9}=\dfrac{4q-1}{9} $

Suy ra $ 9r-4q+1\ge 9.\dfrac{4q-1}{9}-4q+1=4q-1-4q+1=0 $

suy ra đpcm, bài b làm tương tự



#124
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Phát triển topic nào: 

 


Bài 52: Cho $a, b, c> 0$. CMR:

$\dfrac{\dfrac{a}{b}+1}{\dfrac{b^2}{c^2}+1}+\dfrac{\dfrac{b}{c}+1}{\dfrac{c^2}{a^2}+1}+\dfrac{\dfrac{c}{a}+1}{\dfrac{a^2}{b^2}+1}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 4$

 

Bài 58: $a,b,c>0$

CM: $3(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

 

Bài 59:$a,b,c,d\geq 0 ; abcd=1$

CM: $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})(1+d^{2})\geq(a+b+c+d)^{2}$

 

Bài 60: $x,y,z>0; x+y+z=1$ 

a)  $4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 1$

b)  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{4}$

 

Bài 61:$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=10$

CM:   CM:$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

 

Bài 62:$a,b,c,d>0; ab=cd=1$

CM:  $(a+b)(c+d)+4\geq 2(a+b+c+d)$

 

Bài 63:$a,b,c>0$

CM:   $\frac{ab}{a^{2}+3b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+3c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+3a^{2}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bài 64: Cho a,b,c là các số thực:

CM: $(a^{2}+3)(b^{2}+3)(c^{2}+3)\geq 4(a+b+c+1)^{2}$

 

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=1$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

 

Bài 66: $a,b,c>0$

CM: $\frac{b+c}{a^{2}+bc}+\frac{c+a}{b^{2}+ca}+\frac{a+b}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài 64:

$ (a^{2}+3)(b^{2}+3)(c^{2}+3)\ge 4(a+b+c+1)^{2} $

Khai triển 2 vế rút gọn ta được

$ a^{2}b^{2}c^{2}+3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})+5(a^{2}+b^{2}+c^{2})+23 \ge 8(a+b+c)+8(ab+bc+ac) $

Xét các bộ $  ,(-a;-b;-c),(-a;-b,c),(-a;b;-c),(a;-b;-c),(-a;b;c),(a;-b;c),(a;b;-c) $.  Ta nhận xét rằng với mỗi bộ số thay đổi trong các bộ số trên thì đại lượng vế trái không thay đổi đại lượng vế phải thay đổi đại lượng vế phải thay đổi luôn nhỏ hơn vế phải của trường hợp với bộ ba số không âm. (Tức là nếu đúng với bộ (a;b;c) không âm thì cũng sẽ đúng với các bộ còn lại) 

Do đó ta chỉ cần chứng minh với trường hợp ba số $ a,b,c $ không âm

Ta $ a^{2}b^{2}+1\ge 2ab, a^{2}c^{2}+1\ge 2ac, b^{2}c^{2}+1\ge 2bc $

Suy ra $ 3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})+9 \ge 6(ab+bc+ac) $ (1)

Ta : $ a^{2}b^{2}c^{2}+1+1\ge 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}} \ge \dfrac{9abc}{a+b+c}$ $ a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc} $

Mặt khác theo BĐT $ Schur $ ta : $ (a+b+c)^{3}+9abc \ge 4(a+b+c)(ab+bc+ac) $

Suy ra $ \dfrac{9abc}{a+b+c} \ge 4(ab+bc+ac)-(a+b+c)^{2} $

Suy ra $ a^{2}b^{2}c^{2}+2\ge 4(ab+bc+ac)-(a+b+c)^{2} $ (2)

Từ (1) (2) ta suy ra

$ a^{2}b^{2}c^{2}+3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})+5(a^{2}+b^{2}+c^{2})+23=(a^{2}b^{2}c^{2}+2)+3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})+9 +5(a^{2}+ab^{2}+c^{2}) +12 \ge 4(ab+bc+ac)-(a+b+c)^{2}+6(ab+bc+ac)+ 5(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12= 8(ab+bc+ac)+4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12 $

Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh

$ 8(ab+bc+ac)+4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12 \ge 8(a+b+c)+8(ab+bc+ac) $

Điều này tương đương với $ (a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2} \ge 0 $ (đúng)

Vậy bđt được chứng minh

Dấu $ = $ xảy ra khi $ a=b=c=1 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 07-02-2016 - 14:06


#125
longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết

Bài 67: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a,b,c \geq 1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 2$.Chứng minh rằng:

 

$$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\geq \frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{abc}}$$



#126
luukhaiuy

luukhaiuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết

cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luukhaiuy: 07-02-2016 - 18:44


#127
leanh9adst

leanh9adst

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Bài tập: Cho a,b,c,d>0. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{b+c+d}+ \frac{b^2+c^2+d^2}{c+d+a} + \frac{c^2+d^2+a^2}{d+a+b}+\frac{d^2+a^2+b^2}{a+b+c}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leanh9adst: 07-02-2016 - 20:13

Mặt trời mọc rồi lặn,mặt trăng tròn rồi lại khuyết nhưng ánh sáng mà người thầy rọi vào ta sẽ còn mãi trong cuộc đời!


#128
luukhaiuy

luukhaiuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết

Phát triển topic nào: 

 


Bài 52: Cho $a, b, c> 0$. CMR:

$\dfrac{\dfrac{a}{b}+1}{\dfrac{b^2}{c^2}+1}+\dfrac{\dfrac{b}{c}+1}{\dfrac{c^2}{a^2}+1}+\dfrac{\dfrac{c}{a}+1}{\dfrac{a^2}{b^2}+1}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 4$

 

Bài 58: $a,b,c>0$

CM: $3(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

 

Bài 59:$a,b,c,d\geq 0 ; abcd=1$

CM: $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})(1+d^{2})\geq(a+b+c+d)^{2}$

 

Bài 60: $x,y,z>0; x+y+z=1$ 

a)  $4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 1$

b)  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{4}$

 

Bài 61:$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=10$

CM:   CM:$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

 

Bài 62:$a,b,c,d>0; ab=cd=1$

CM:  $(a+b)(c+d)+4\geq 2(a+b+c+d)$

 

Bài 63:$a,b,c>0$

CM:   $\frac{ab}{a^{2}+3b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+3c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+3a^{2}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bài 64: Cho a,b,c là các số thực:

CM: $(a^{2}+3)(b^{2}+3)(c^{2}+3)\geq 4(a+b+c+1)^{2}$

 

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=1$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

 

Bài 66: $a,b,c>0$

CM: $\frac{b+c}{a^{2}+bc}+\frac{c+a}{b^{2}+ca}+\frac{a+b}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

61,

áp dụng BDT Cauchy- Schwarz ta có

$(a^2+b^2+c^2)\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

và $(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{3}$

do đó $(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}.\frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{3}$

hay VT$\geq \frac{100}{9}$

suy ra DPCM

p/s mình nghĩ đề phải là $\frac{100}{9}$ chứ nhỉ

62,

BDT cần CM tương đương với (a+b)(c+d)+4$\geq$2(a+b+c+d)

hay $(a+b)(c+d)-2(a+b)+4-2(c+d)\geq 0$

hay $(a+b)(c+d-2)-2(c+d-2)\geq 0$

hay $(a+b-2)(c+d-2)\geq$(1)

ma ab=cd=1 nen $a+b\geq 2\sqrt{ab}=2$

                             $c+d\geq 2\sqrt{cd}=2$

suy ra (1) luôn đúng

suy ra DPCM



#129
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Những bài chưa có lời giải:

 

 

Bài 60: $x,y,z\geq 0; x+y+z=1$

a)  $4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 1$

b)  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{4}$

 

Bài 61:$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=10$

CM:  $(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

 

Bài 63:$a,b,c>0$

CM:   $\frac{ab}{a^{2}+3b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+3c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+3a^{2}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=3$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

 

Bài 66: $a,b,c>0$

CM: $\frac{b+c}{a^{2}+bc}+\frac{c+a}{b^{2}+ca}+\frac{a+b}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

 

Bài 69: Cho a,b,c,d>0. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{b+c+d}+ \frac{b^2+c^2+d^2}{c+d+a} + \frac{c^2+d^2+a^2}{d+a+b}+\frac{d^2+a^2+b^2}{a+b+c}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

 

 

Bài 68: Cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$

 

 

Bài 67: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a,b,c \geq 1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 2$.Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\geq \frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{abc}}$

 

P/S: những bài giải theo pqr các bạn có thể tìm cách khác, bài 61 để mình xem lại (chắc không sai đề đâu, bạn thử check đi)

 

P/S lần nữa: Những bài viết PHẢI đánh số thứ tự !

                     Làm bài nào thì chỉ trích dẫn bài đó thôi, đừng đưa cả xấu page!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 10-02-2016 - 18:27

:huh:


#130
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Những bài chưa có lời giải:

 

Bài 60: $x,y,z>0; x+y+z=1$ 

a)  $4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 1$

b)  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{4}$

 

Bài 60:

a)

 

Ta có phân tích sau đây để quy về đồng bậc:

 

$1=(x+y+z)^{3}=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3\left [ xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) \right ] +6xyz$

 

Nên ta chỉ cần chứng minh:

 

$4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}+3\left [ xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) \right ] +6xyz$

 

$\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$

..........................................

 

b) BĐT $\Leftrightarrow 4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+24xyz\geq 1$

 

Vận dụng kết quả bài trên, ta có:

 

$4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+24xyz\geq 4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 1$

 

$\Rightarrow$ ĐPCM


:huh:


#131
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Những bài chưa có lời giải:

 

Bài 66: $a,b,c>0$

CM: $\frac{b+c}{a^{2}+bc}+\frac{c+a}{b^{2}+ca}+\frac{a+b}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

 

Bài 66:

 

$\frac{b+c}{a^{2}+bc}=\frac{(b+c)^{2}}{(a^{2}+bc)(b+c)}=\frac{(b+c)^{2}}{c(a^{2}+b^{2})+b(a^{2}+c^{2})}\leq \frac{b^{2}}{c(a^{2}+b^{2})}+\frac{c^{2}}{b(a^{2}+c^{2})}$

 

Tương tự các số còn tại cộng vế theo vế $\Rightarrow$ ĐPCM


:huh:


#132
CaptainCuong

CaptainCuong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

Không mất tính tổng quát ta giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có:

$a^{3}-5a+2=(a-2)(a^{2}+2a-1)\leq 0$

$b^{3}+5a-5ab-1=(b-1)(b^{2}+b+1-5a)\leq (b-1)(a^{2}+a+1-5a)=(b-1)(a^{2}-4a+1)\leq 0$

$c^{3}+5ab-5abc-1=(c-1)(c^{2}+c+1-5ab)\leq (c-1)(a^{2}+a+1-5a)=(c-1)(a^{2}-4a+1)\leq 0$

Cộng 3 bđt trên lại với nhau$\Rightarrow$ đpcm

1.Làm thế nào để bạn có thể tách như vậy.

2.Có phương pháp chung cho những bài thế này ko?

Mong bạn giúp mình



#133
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

1.Làm thế nào để bạn có thể tách như vậy.

2.Có phương pháp chung cho những bài thế này ko?

Mong bạn giúp mình

1. Đơn giản là bài này mình được thầy cho làm rồi chứ mình thì không thể tự nghĩ ra cách tách hay như thế này

2. Theo mình thì tuỳ từng bài thôi, mình nghĩ với những dạng như thế này thì việc dự đoán dấu = là việc quan trọng nhất, đây là điểm mấu chốt để chúng ta đưa ra cách tách hợp lí


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#134
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

 

Bài 63:$a,b,c>0$

CM:   $\frac{ab}{a^{2}+3b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+3c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+3a^{2}}\leq \frac{3}{4}$

Bài này không nên đưa vào Topic này vì nó liên quan đến 1 bđt khá khó của Vas  

Lời giải:

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

$VT=\sum \frac{ab}{a^2+b^2+2b^2} \leq \sum \frac{ab}{2\sqrt{2b^2(a^2+b^2)}}=\frac{1}{2\sqrt{2}} \sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+b^2}}$

Ta cần chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+b^2}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}$ 

Đây là bđt đúng và quen thuộc.Các bạn có thể xem chứng minh ở đây

Chứng minh hoàn tất đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 08-02-2016 - 23:00


#135
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
Bài 63:$a,b,c>0$

CM:   $\frac{ab}{a^{2}+3b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+3c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+3a^{2}}\leq \frac{3}{4}$

 

Bài này có thể chứng minh đơn giản mà không thông qua bổ đề, xem tại đây.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 09-02-2016 - 15:20

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#136
quan1234

quan1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 257 Bài viết

Bài 61:$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=10$

CM:  $(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

 

 

Bài 61

$\sum a\sum \frac{1}{b}=10\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}=7$

Đặt $x=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$, $y=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$

$x+y=7,\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=x^2-2y,\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}= y^2-2x$

$VT=x^2+y^2-2(x+y)+3\geq \frac{(x+y)^2}{2}-2(x+y)+3= \frac{27}{2}$



#137
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Những bài chưa có lời giải:

 

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=1$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

 

Bài 69: Cho a,b,c,d>0. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{b+c+d}+ \frac{b^2+c^2+d^2}{c+d+a} + \frac{c^2+d^2+a^2}{d+a+b}+\frac{d^2+a^2+b^2}{a+b+c}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

 

 

Bài 68: Cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$

 

 

Bài 67: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a,b,c \geq 1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 2$.Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\geq \frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{abc}}$


:huh:


#138
longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết

Bài 70: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{a^3c}{a^3+bc+ca}+\frac{b^3a}{b^3+ca+ab}+\frac{c^3b}{c^3+ab+bc}\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3(a+b+c)^2}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 10-02-2016 - 11:39


#139
luukhaiuy

luukhaiuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết

bạn xem lại đề bài 65 đi nếu a=b=c thì VT>1 rùi



#140
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

bạn xem lại đề bài 65 đi nếu a=b=c thì VT>1 rùi

 

Xin lỗi bạn đã sửa ở trên! Tổng bằng 3!

 

---------------------------------------------------

 

 

Những bài chưa có lời giải:

 

 

 

Bài 70: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:

 

$\frac{a^3c}{a^3+bc+ca}+\frac{b^3a}{b^3+ca+ab}+\frac{c^3b}{c^3+ab+bc}\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3(a+b+c)^2}$

 

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=3$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

 

Bài 69: Cho a,b,c,d>0. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{b+c+d}+ \frac{b^2+c^2+d^2}{c+d+a} + \frac{c^2+d^2+a^2}{d+a+b}+\frac{d^2+a^2+b^2}{a+b+c}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

 

 

Bài 68: Cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$

 

 

Bài 67: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a,b,c \geq 1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 2$.Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\geq \frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{abc}}$

 

 

Bài 71:   $x,y,z>0; x+y+z=1$

CM:  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{3}$         (khá khó)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 10-02-2016 - 18:32

:huh:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh