Chủ đề này có 238 trả lời

[anhquannbk]

 

 

 

Bài 71:   $x,y,z>0; x+y+z=1$

CM:  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{3}$         (khá khó)

Bất đẳng thức sai với $ x=\dfrac{1}{9}, y=\dfrac{3}{8}, z=\dfrac{37}{72} $

Khi đó $ x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz-\dfrac{1}{3}=\dfrac{-13}{864} $ (sai)

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 71:   $x,y,z>0; x+y+z=1$

CM:  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{3}$         (khá khó)

 

Bất đẳng thức này sai, nhưng nếu sửa lại như vầy thì đúng \[x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz \geqslant  \frac{1}{4}.\]

[PlanBbyFESN]

Bất đẳng thức sai với $ x=\dfrac{1}{9}, y=\dfrac{3}{8}, z=\dfrac{37}{72} $

Khi đó $ x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz-\dfrac{1}{3}=\dfrac{-13}{864} $ (sai)

 

Chậc, bài này cũng dính tương tự bài này:

 

$\sum \frac{a}{a+b}\geq 3$ sẽ CM được với $a\geq b\geq c>0$ nhưng nếu không có nó sẽ tìm được bộ số mà BĐT trên không thỏa!

 

 

Bất đẳng thức này sai, nhưng nếu sửa lại như vầy thì đúng \[x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz \geqslant  \frac{1}{4}.\]

 

Bài này lại không quá khó rồi anh ạ! (Đã CM ở phần trước)

 

----------------------------------------------------

 

Thôi được quyết định sửa đề xem sao:

 

 

Bài 71:  $x\geq y\geq z> 0; x+y+z=3 $

CM:  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{3}$         (khá khó)

 

Ta thử làm với cái này xem sao nếu ai muốn có thể thêm giả thiết trong 3 số $x,y,z$ không tồn tại hai số nào cùng lớn hơn $\frac{1}{3}$!

(Tự thêm, chắc có lẽ cần để tránh bộ số không thỏa)

 

P/s: Bài về nhà tết của GV.

       Thực ra làm ra rồi nhưng cách không đẹp nên muốn tham khảo mọi người!

[PlanBbyFESN]

Bài 71:   $x,y,z>0; x+y+z=1$

CM:  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{3}$         (khá khó)

 

 

Bất đẳng thức này sai, nhưng nếu sửa lại như vầy thì đúng \[x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz \geqslant  \frac{1}{4}.\]

 

Em chốt lại đề bài này, mong mọi người check luôn:

 

Bài *** (đặc biệt): Với $x+y+z=1$ và điều kiện không có bất kì 2 số nào cùng lớn hơn  $\frac{1}{3}$ ta sẽ có BĐT sau đây:

 

 $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{3}$

 

Mọi người check giúp bài này, mình/em đã thử với các bộ số:

 

$(\frac{299}{900};\frac{601}{3600};\frac{601}{1200})$

 

$(\frac{29}{90};\frac{7}{19};\frac{529}{1710})$

 

$(\frac{29}{90};\frac{7}{19};\frac{529}{1710})$

 

$(\frac{13}{50};\frac{11}{26};\frac{103}{325})$

 

$(\frac{29}{90};\frac{32}{90};\frac{29}{90})$

 

$(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3})$ ......................

 

Nếu BĐT đúng ta sẽ CM.......

[PlanBbyFESN]

Đây là những bài tồn kho trong topic:

 

Bài *** ( bài đặc biệt ): Với $x+y+z=1$ và điều kiện không có bất kì 2 số nào cùng lớn hơn  $\frac{1}{3}$ ta sẽ có BĐT sau đây:

 

 $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{3}$

 

 

 

Bài 70: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:

 

$\frac{a^3c}{a^3+bc+ca}+\frac{b^3a}{b^3+ca+ab}+\frac{c^3b}{c^3+ab+bc}\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3(a+b+c)^2}$

 

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=3$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

 

Bài 69: Cho a,b,c,d>0. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{b+c+d}+ \frac{b^2+c^2+d^2}{c+d+a} + \frac{c^2+d^2+a^2}{d+a+b}+\frac{d^2+a^2+b^2}{a+b+c}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

 

 

Bài 68: Cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$

 

 

Bài 67: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a,b,c \geq 1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 2$.Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\geq \frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{abc}}$

 

-----------------------------------------------

 

Đây là những bài mới: 

 

Bài 72: $a,b,c>0 ; a+b+c=3$

CM: $\frac{a}{b^{3}+ab}+\frac{b}{c^{3}+bc}+\frac{c}{a^{3}+ca}\geq \frac{3}{2}$

 

Bài 73: $a,b,c>0;a^{2}+2b^{2}\leq 3c^{2}$

CM: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

 

Bài 74: $x,y,z>0;\sum \frac{1}{1+x}\geq 2$

CM: $xyz\leq \frac{1}{8}$

 

Bài 75: $x,y>0;x+y=2$

CM: $x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3})\leq 2$

 

Bài 76:

CM: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}\geq 2(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)$          (a,b,c là các số thực)

 

Bài 77: Với $ab>0$

CM: $(\frac{a^{2}+b^{2}}{2})^{3}\leq (\frac{a^{3}+b^{3}}{2})^{2}$

 

 

Bài 78: $x,y,z\in \mathbb{R}; x+y+z=6$

Tìm max: $P=xy+2yz+3zx$

 

Bài 79: $x,y\in \mathbb{R}$

Tìm min:  $A=\sqrt{(x+1)^{2}+(y-1)^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}+\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}}$

 

Bài 80: $x+y+z=5;xy+yz+zx=8$

Tìm min và max của :    $x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 18-02-2016 - 20:52

[Minhnguyenthe333]

 
Bài 80: $x+y+z=5;xy+yz+zx=8$
[b]Tìm min và max của :    $x$

.
$<=>xy+(x+y)[5-(x+y)]=8<=>y^2+y(x-5)+x^2-5x+8=0$.PT Có nghiệm
$<=>\Delta\geqslant 0<=>(x-5)^2-4(x^2-5x+8)\geqslant 0$
$<=>(x-1)(3x-7)\leqslant 0<=>1\leqslant x\leqslant \frac{7}{3}$

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 76:

CM: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}\geq 2(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)$          (a,b,c là các số thực)

 

Ta có

\[a^{4}+b^{4}+c^{4}+ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}-2(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a) = \frac{1}{6}\sum (a^2-2b^2+c^2-ab+2bc-ca)^2,\]

hoặc là

\[a^{4}+b^{4}+c^{4}+ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}-2(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a) = \frac{1}{2}\sum (a^2-b^2-ab+bc)^2.\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

 

Nhận xét. Thật ra thì bài toán này vẫn có thể chứng minh bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 14-02-2016 - 21:00

[nmuyen2001]

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=3$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

Ta có: $\sum \frac{a}{2a+b^2}\leq 1 \Leftrightarrow \sum \frac{2a}{2a+b^2}\leq 2 \Leftrightarrow \sum (1-\frac{2a}{2a+b^2})\geq 3-2 \Leftrightarrow \sum \frac{b^3}{2ab+b^3}\geq 1$

áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng phân thức:
$\sum \frac{b^3}{2ab+b^3}\geq \frac{(\sum a^{\frac{3}{2}})^2}{\sum 2ab+\sum a^3}=\frac{\sum a^3+2\sum (ab)^{\frac{3}{2}}}{\sum a^3+2\sum ab}$

Ta cần chứng minh: $\sum (ab)^{\frac{3}{2}} \geq \sum ab$
Thật vậy, áp dụng bđt AM-GM: $\sum (ab)^{\frac{3}{2}}\geq 3\sqrt[3]{(a^2b^2c^2)^{\frac{3}{2}}}=3=\sum ab$
Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

[royal1534]

 

Thật vậy, áp dụng bđt AM-GM: $\sum (ab)^{\frac{3}{2}}\geq 3\sqrt[3]{(a^2b^2c^2)^{\frac{3}{2}}}=3=\sum ab$

Biện hộ chỗ này,abc đâu có =1 

[Nguyenhuyen_AG]

Biện hộ chỗ này,abc đâu có =1 

 

Chỗ đấy chắc em đó gõ nhầm, bất đẳng thức \[(ab)^{\frac{3}{2}}+(bc)^{\frac{3}{2}}+(ca)^{\frac{3}{2}} \geqslant ab+bc+ca,\] hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức trung bình lũy thừa hoặc dùng AM-GM theo kiểu \[(ab)^{\frac{3}{2}}+(ab)^{\frac{3}{2}}+1 \geqslant 3\sqrt[3]{(ab)^{\frac{3}{2}}\cdot(ab)^{\frac{3}{2}}\cdot 1} = 3ab.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 14-02-2016 - 22:03

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 78: $x,y,z\in \mathbb{R}; x+y+z=6$

Tìm max: $P=xy+2yz+3zx$

 

Tổng quát. Với $x,\,y,\,z$ là các số thực thì

\[4(k \cdot xy + t \cdot yz + zx) \leqslant \left [ 1+\frac{(k+t-1)^2}{4t-(t+1-k)^2} \right ](x+y+z)^2,\]

trong đó $k,\,t$ là hai số thực dương cho trước thỏa mãn $4t > (t+1-k)^2.$

[nmuyen2001]

Bài 75: $x,y>0;x+y=2$

CM: $x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3})\leq 2$

Ta có: $x^3y^3(x^3+y^3)=x^3y^3(x+y)(x^2-xy+y^2)=2x^3y^3(x^2-xy+y^2)\leq 2(\frac{x^2+y^2+2xy}{4})^4=2$ (theo AM-GM)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=1$

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 79: $x,y\in \mathbb{R}$

Tìm min:  $A=\sqrt{(x+1)^{2}+(y-1)^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}+\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}}$

 

Với $t$ là một số thực, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có\[\sqrt{[(x-1)^2+(y+1)^2][(t-1)^2+(t+1)^2]} \geqslant (x-1)(t-1)+(y+1)(t+1),\]hay là\[\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2} \geqslant \frac{(x-1)(t-1)+(y+1)(t+1)}{\sqrt{(t-1)^2+(t+1)^2}}.\]Chọn $t = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ ta được\[\begin{aligned} \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2} & \geqslant \frac{(x-1)(t-1)+(y+1)(t+1)}{\sqrt{(t-1)^2+(t+1)^2}} \\& = -\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{4}\left[x+(\sqrt{3}-2)y-3+\sqrt{3}\right].\end{aligned} \quad (1)\]Tương tự thì\[\begin{aligned}\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2} & \geqslant \frac{(x+1)(t+1)+(y-1)(t-1)}{\sqrt{(t+1)^2+(t-1)^2}} \\& = -\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}\left[-x+(\sqrt{3}+2)y-3-\sqrt{3}\right],\end{aligned}\quad (2)\]và\[\begin{aligned} \sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2} & \geqslant \frac{(x+2)(t+2)+(y+2)(t+2)}{\sqrt{(t+2)^2+(t+2)^2}} \\& = \frac{\sqrt{2}}{2}(x+y+4).\end{aligned} \quad (3)\]Công tương ứng ba đánh giá $(1),\,(2),\,(3)$ và thu gọn lại, ta được\[f(x,\,y) \geqslant \sqrt{2}(2+\sqrt{3}).\]Ngoài ra nếu $x=y=- \frac{1}{\sqrt{3}}$ thì đẳng thức xảy ra, như vậy $f(x,\,y)_{\min} = \sqrt{2}(2+\sqrt{3}).$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 15-02-2016 - 21:35

[ngongaobk]

Mọi người xem giúp mình bài này được không? Nghĩ mãi không ra 

Cho a, b > 0. CMR $a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2}-2)\geq (ab-1)(a+b)$.

Cảm ơn mọi người nhiều!

[anhquannbk]

Mở rộng bài 75:

Cho $ x, y, z $ là các số thực dương thỏa mãn $ x+y+z=3 $

Chứng minh rằng: $ x^{4}y^{4}z^{4}(x^{3}+y^{3}+z^{3}) \le 3 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 15-02-2016 - 22:26

[anhquannbk]

 

 

Bài 73: $a,b,c>0;a^{2}+2b^{2}\leq 3c^{2}$

CM: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

 

 

Bài 73: Áp dụng BĐT $ Holder $ ta có:

$ (\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b})^{2}(a^{2}+2b^{2})=(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b})(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b})(a^{2}+2b^{2}) \ge (1+2)^{3}=27 $

Suy ra $ (\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b})^{2} \ge \dfrac{27}{a^{2}+2b^{2}} \ge \dfrac{27}{3c^{2}} =\dfrac{9}{c^{2}} $

suy ra $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b} \ge \dfrac{3}{c} $

[PlanBbyFESN]

Bài 81: Cho $xy+yz+zx=1$. Tìm min: $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}$

 

 Và tìm công thức min tổng quát cho bài trên!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 19-02-2016 - 12:52

[PlanBbyFESN]

Mọi người xem giúp mình bài này được không? Nghĩ mãi không ra 

Cho a, b > 0. CMR $a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2}-2)\geq (ab-1)(a+b)$.

Cảm ơn mọi người nhiều!

 

Trước hết bạn sửa lại số thứ tự giúp mình! Và lưu ý lần sau nhé ! 

 

Giải:

 

$a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2}-2)\geq (ab-1)(a+b)\Leftrightarrow 2a^{2}b^{2}(ab-1)\geq (ab-1)(a+b)$

 

Biện luận thôi:

 

• Nếu $a,b>1$ thì $ab-1>0$ nên $2a^{2}b^{2}(ab-1)\geq (ab-1)(a+b)\Leftrightarrow 2a^{2}b^{2}\geq a+b\Leftrightarrow a(ab^{2}-1)+b(a^{2}b-1)\geq 0$    (Đúng do $a,b>1$)
• Nếu $0<a,b<1$ thì $ab-1<0$ nên $2a^{2}b^{2}(ab-1)\geq (ab-1)(a+b)\Leftrightarrow a+b\geq 2a^{2}b^{2}\Leftrightarrow 2\sqrt{ab}\geq 2a^{2}b^{2}\Leftrightarrow 1\geq ab$ (Đúng do $a,b<1$)

.................................

•  

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 81: Cho $xy+yz+zx=1$. Tìm min: $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}$

 

 Và tìm công thức min tổng quát cho bài trên!

 

Xem ở đây: http://diendantoanho...ào/#entry477645

[PlanBbyFESN]

Những bài chưa có lời giải:

 

Bài 70: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:

 

$\frac{a^3c}{a^3+bc+ca}+\frac{b^3a}{b^3+ca+ab}+\frac{c^3b}{c^3+ab+bc}\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3(a+b+c)^2}$

 

Bài 69: Cho a,b,c,d>0. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{b+c+d}+ \frac{b^2+c^2+d^2}{c+d+a} + \frac{c^2+d^2+a^2}{d+a+b}+\frac{d^2+a^2+b^2}{a+b+c}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

 

Bài 68: Cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$

 

Bài 67: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a,b,c \geq 1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 2$.Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\geq \frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{abc}}$

 

Bài 72: $a,b,c>0 ; a+b+c=3$

CM: $\frac{a}{b^{3}+ab}+\frac{b}{c^{3}+bc}+\frac{c}{a^{3}+ca}\geq \frac{3}{2}$

 

Bài 73: $a,b,c>0;a^{2}+2b^{2}\leq 3c^{2}$

CM: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

 

Bài 74: $x,y,z>0;\sum \frac{1}{1+x}\geq 2$

CM: $xyz\leq \frac{1}{8}$

 

Bài 77: Với $ab>0$

CM: $(\frac{a^{2}+b^{2}}{2})^{3}\leq (\frac{a^{3}+b^{3}}{2})^{2}$

 

 

----------------------------------------------------

 

Bài 82: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1;x,y,z>0$

Tìm giá trị lớn nhất của: $xy+yz+2zx$

Và tìm công thức tổng quát cho bài trên!

 

Bài 83: $x,y,z>0;x+y+z=3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $x^{2}+y^{2}+z^{3}$

Và tìm công thức tổng quát cho bài trên! (Hi vọng bài toán tổng quát có thể tổng quát cả hệ số)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 23-02-2016 - 19:49