Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nội tiếp $(I)$; tiếp tuyến tại $A;C$ cắt nhau tại $M$.
Chứng minh $M;D;B$ thẳng hàng
#1
Đã gửi 18-01-2016 - 19:42
#2
Đã gửi 18-01-2016 - 19:56
Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nội tiếp $(I)$; tiếp tuyến tại $A;C$ cắt nhau tại $M$.
Gọi $D$ là trung điểm của đường cao $CH$. Chứng minh $M;D;B$ thẳng hàng .
Hình tự vẽ
Gọi $Q$ là giao điểm $AM$ và $BC$
Có $HC//AQ \Rightarrow \frac{HD}{AM}=\frac{CD}{QM}(=\frac{BD}{BM})$
Mà $HD=CD$ nên $AM=MQ$
Gọi $D'$ là giao điểm $HC$ và $BM$
Có $HC//AQ \Rightarrow \frac{HD'}{AM}=\frac{CD'}{QM}(=\frac{BD}{BM})$
Mà $AM=MQ$ nên $HD'=CD'$
Suy ra $D'$ cũng là trung điểm $HC$
Do đó $\overline{B,D,M}$
- ShenLongHkHT yêu thích
#3
Đã gửi 19-01-2016 - 05:45
Gọi T là trung điểm CA , I là giao điểm của BM và CH , ta sẽ chứng minh I $\equiv$ D
Ta có $\Delta$ BMA có IH //MA nên $\frac{BI}{IM}=\frac{BH}{HA}$ (1)
Mà $\Delta$ MAO $\sim$ $\Delta$ CAB (dễ dàng chứng minh)
AT là đường cao của $\Delta$ MAO
CH là đường cao của $\Delta$ CAB
nên $\frac{BH}{HA}=\frac{OT}{TM}$ (2)
Từ (1),(2) suy ra $\frac{BI}{IM}=\frac{OT}{TM}$
Theo định lý Thales đảo thì IT // OB hay IT // AH
$\Delta$ CAH có T là trung điểm CA, I thuộc CH ,TI // AH => I là trung điểm CH
Vậy I $\equiv$ D từ đó =>đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 19-01-2016 - 05:45
- ShenLongHkHT yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh