2 replies to this topic

[MRTYPN2000]

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nội tiếp $(I)$; tiếp tuyến tại $A;C$ cắt nhau tại $M$.

Gọi $D$ là trung điểm của đường cao $CH$. Chứng minh $M;D;B$ thẳng hàng .

[Element hero Neos]

 

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nội tiếp $(I)$; tiếp tuyến tại $A;C$ cắt nhau tại $M$.

Gọi $D$ là trung điểm của đường cao $CH$. Chứng minh $M;D;B$ thẳng hàng .

 

Hình tự vẽ

Gọi $Q$ là giao điểm $AM$ và $BC$

Có $HC//AQ \Rightarrow \frac{HD}{AM}=\frac{CD}{QM}(=\frac{BD}{BM})$

Mà $HD=CD$ nên $AM=MQ$

Gọi $D'$ là giao điểm $HC$ và $BM$

Có $HC//AQ \Rightarrow \frac{HD'}{AM}=\frac{CD'}{QM}(=\frac{BD}{BM})$

Mà $AM=MQ$ nên $HD'=CD'$

Suy ra $D'$ cũng là trung điểm $HC$

Do đó $\overline{B,D,M}$

[thaibuithd2001]

Gọi T là trung điểm CA , I là giao điểm của BM và CH , ta sẽ chứng minh I $\equiv$ D  

Ta có $\Delta$ BMA có IH //MA nên $\frac{BI}{IM}=\frac{BH}{HA}$ (1)

Mà $\Delta$ MAO $\sim$ $\Delta$ CAB (dễ dàng chứng minh)

       AT là đường cao của $\Delta$ MAO

       CH là đường cao của $\Delta$ CAB

nên $\frac{BH}{HA}=\frac{OT}{TM}$ (2)

Từ (1),(2) suy ra  $\frac{BI}{IM}=\frac{OT}{TM}$ 

Theo định lý Thales đảo thì IT // OB hay IT // AH

$\Delta$ CAH có T là trung điểm CA, I thuộc CH ,TI // AH => I là trung điểm CH

Vậy  I $\equiv$ D từ đó =>đpcm

Edited by thaibuithd2001, 19-01-2016 - 05:45.