Chủ đề này có 2 trả lời

[CaptainCuong]

Tìm giá trị nhỏ nhất của:$A= \frac{8}{(a+3)^{2}}+\frac{4}{(b+2)^{2}}+\frac{1}{(c+1)^{2}}$ với $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3b$(Đề thi chọn đội tuyển toán 9 THCS chuyên Trần Đại Nghĩa TPHCM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaptainCuong: 20-01-2016 - 23:38

[quoccuonglqd]

$A=\frac{8}{(a+3)^{2}}+\frac{1}{(\frac{b}{2}+1)^{2}}+\frac{1}{(c+1)^{2}}\geqslant \frac{8}{(a+3)^{2}}+\frac{8}{(\frac{b}{2}+c+2)^{2}}\geqslant \frac{64}{(a+\frac{b}{2}+c+5)^{2}}$

Ta có $a+\frac{b}{2}+c\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6-3b}{2}=3$

Vậy $A\geqslant \frac{64}{(5+3)^{2}}=1$

[quoccuonglqd]

Cách ở trên mình từng gặp trên VMF,1 cách khác

$\frac{8}{(a+3)^{2}}+\frac{4}{(b+2)^{2}}+\frac{1}{(c+1)^{2}}\geqslant \frac{2}{(a^{2}+3)}+\frac{4}{(b+2)^{2}}+\frac{1}{2(c^{2}+1)}\geqslant \frac{9}{2a^{2}+2c^{2}+8}+\frac{4}{(b+2)^{2}}=\frac{9}{2(3b-b^{2})}+\frac{4}{(b+2)^{2}}$

Bất đẳng thức trở thành 1 biến,có thể giải quyết dễ dàng bằng 1 vài phép biến đổi