Chủ đề này có 6 trả lời

[dogamer01]

Cho x, y, z > 0

Chứng minh $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{2(xy + yz + zx)}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \geq 5$

[Nguyenhuyen_AG]

Cho x, y, z > 0

Chứng minh $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{2(xy + yz + zx)}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \geq 5$

 

Giả sử $z=\min\{x,\,y,\,z\}$ và viết bất đẳng thức trên thành \[\frac{(x-y)^2}{xy}+\frac{(x-z)(y-z)}{xz} \geqslant \frac{2[(x-y)^2+(x-z)(y-z)]}{x^2+y^2+z^2}.\] Chú ý rằng \[zx \leqslant \frac{x^2+z^2}{2} < \frac{x^2+y^2+z^2}{2},\] và \[xy \leqslant \frac{x^2+y^2}{2} < \frac{x^2+y^2+z^2}{2}.\] Nên bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng.

[chaubee2001]

Giả sử $z=\min\{x,\,y,\,z\}$ và viết bất đẳng thức trên thành \[\frac{(x-y)^2}{xy}+\frac{(x-z)(y-z)}{xz} \geqslant \frac{2[(x-y)^2+(x-z)(y-z)]}{x^2+y^2+z^2}.\] Chú ý rằng \[zx \leqslant \frac{x^2+z^2}{2} < \frac{x^2+y^2+z^2}{2},\] và \[xy \leqslant \frac{x^2+y^2}{2} < \frac{x^2+y^2+z^2}{2}.\] Nên bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng.

cần gì phải dài dòng làm gì..
Ta có luôn: $AM-GM:\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{yzx}}=3$
$x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx \Rightarrow \frac{2(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2}\geq \frac{2(xy+yz+zx)}{xy+yz+zx}=2$
Nên ta có đpcm..

[NTA1907]

cần gì phải dài dòng làm gì..
Ta có luôn: $AM-GM:\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{yzx}}=3$
$x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx \Rightarrow \frac{2(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2}\geq \frac{2(xy+yz+zx)}{xy+yz+zx}=2$
Nên ta có đpcm..

Chỗ này ngược dấu nên cách của bạn sai. Mình thấy làm như anh Nguyenhuyen_AG là ổn rồi

[chaubee2001]

Chỗ này ngược dấu nên cách của bạn sai. Mình thấy làm như anh Nguyenhuyen_AG là ổn rồi

ờ nhể, e quên mất
lúc đó e nghĩ không kỹ @@

[dogamer01]

Giả sử $z=\min\{x,\,y,\,z\}$ và viết bất đẳng thức trên thành \[\frac{(x-y)^2}{xy}+\frac{(x-z)(y-z)}{xz} \geqslant \frac{2[(x-y)^2+(x-z)(y-z)]}{x^2+y^2+z^2}.\] Chú ý rằng \[zx \leqslant \frac{x^2+z^2}{2} < \frac{x^2+y^2+z^2}{2},\] và \[xy \leqslant \frac{x^2+y^2}{2} < \frac{x^2+y^2+z^2}{2}.\] Nên bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng.

 

Anh ơi cho em hỏi khi đó thì làm sao đánh giá được dấu bằng ạ ?

[Nguyenhuyen_AG]

Anh ơi cho em hỏi khi đó thì làm sao đánh giá được dấu bằng ạ ?

 

Viết bất đẳng thức lại như sau \[(x-y)^2\left (\frac{1}{xy}- \frac{2}{x^2+y^2+z^2} \right )+(x-z)(y-z)\left (\frac{1}{xz} - \frac{2}{x^2+y^2+z^2} \right ) \geqslant 0. \quad (1)\] Do ở trên ta đã chỉ ra được $\frac{1}{xy}- \frac{2}{x^2+y^2+z^2} > 0$ và $\frac{1}{xz} - \frac{2}{x^2+y^2+z^2} >0$ nên $(1)$ trở thành đẳng thức khi và chỉ khi $(x-y)^2 = 0,\,(x-z)(y-z)=0$ tức là $x=y=z$ và đây cũng chính là dấu bằng của bài toán.