Chủ đề này có 34 trả lời

[tquangmh]

Bài 1 : Cho a, b, c là các số thực thỏa : a + b + c = 0. Chứng minh rằng :

a/ a² + b² + c² = (a + b)² + (b + c)² + (c + a)².

b/ (a² + b² + c²)² = 2(a⁴ + b⁴ + c⁴)

c/ a² - bc = b² - ac = c² - ab

d/ a⁴ + b⁴ + c⁴ > (ab + bc + ca)²  

e/ a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca)

[tpdtthltvp]

Bài 1 : Cho a, b, c là các số thực thỏa : a + b + c = 0. Chứng minh rằng :

a/ a² + b² + c² = (a + b)² + (b + c)² + (c + a)².

b/ (a² + b² + c²)² = 2(a⁴ + b⁴ + c⁴)

c/ a² - bc = b² - ac = c² - ab

d/ a⁴ + b⁴ + c⁴ > (ab + bc + ca)²  

e/ a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca)

a)

$a+b+c=0\Rightarrow (a+b+c)^2=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca\Rightarrow a^2+b^2+c^2=(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2(dpcm)$

d)

$a^4+b^4+c^4\geq (ab+bc+ca)^2\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ , luôn đúng.

e) Hiển nhiên đúng!

b)

$(a^2+b^2+c^2)^2=4(ab+bc+ca)^2\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\Rightarrow 2(a^4+b^4+c^4)=(a^2+b^2+c^2)^2$

[tquangmh]

a) (Cách khác) TỪ giả thiết :$a+b+c=0\Rightarrow a+b = -c; b+c=-a; a+c=-b \Rightarrow (a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(a+c)^{2}=(-a)^{2}+(-b)^{2}+(-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

c) Gợi ý : Có 2 cách :

+ Cách 1 : Áp dụng vế phải bài a/

+ Cách 2 : Khai thác giả thiết

Nếu ko có ai làm thì mình sẽ ... 

[tquangmh]

Bài 2 : Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa : a + b + c = 0

a/ Tìm giá trị của biểu thức :

$A=\frac{a}{c}.\frac{a^{2}-b^{2}-c^{2}}{b^{2}-c^{2}-a^{2}}.\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{b}$

b/ Chứng minh rằng : 2(ab + bc + ca)² = a⁴ + b⁴ + c⁴  

[tpdtthltvp]

Bài 2 : Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa : a + b + c = 0

a/ Tìm giá trị của biểu thức :

$A=\frac{a}{c}.\frac{a^{2}-b^{2}-c^{2}}{b^{2}-c^{2}-a^{2}}.\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{b}$

b/ Chứng minh rằng : 2(ab + bc + ca)² = a⁴ + b⁴ + c⁴  

a/$a+b+c=0\Rightarrow (a+b)^2=(-c)^2\Rightarrow c^2-a^2-b^2=2ab$

Tương tự, có: $\left\{\begin{matrix} a^2-b^2-c^2=2bc \\ b^2-c^2-a^2=2ac \\ c^2+a^2-b^2=-2ca \end{matrix}\right.$

$$\Rightarrow A=\frac{a}{c}.\frac{2bc}{2ca}.\frac{-2ca}{b}=-2a$$

b/$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$, đúng theo bài 1/b.

[tpdtthltvp]

Bài 1 : Cho a, b, c là các số thực thỏa : a + b + c = 0. Chứng minh rằng :

c/ a² - bc = b² - ac = c² - ab

 

+)$a^2-bc=b^2-ac \Leftrightarrow (b+c)^2-bc=(a+c)^2-ac\Leftrightarrow b^2+c^2+bc=a^2+c^2+ac\Leftrightarrow a^2+ac-b^2-bc=0\Leftrightarrow (a-b)(a+b)+c(a-b)=0\Leftrightarrow (a-b)(a+b+c)=0$.

Tương tự, ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 27-01-2016 - 10:34

[lequangnghia]

e/ a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca)

Ta có $a+b+c=0$

$\Rightarrow (a+b+c)^{2}=0$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=0$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2(ab+bc+ca)$

[lequangnghia]

d/ a⁴ + b⁴ + c⁴ > (ab + bc + ca)²  

$\Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}> a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+2abc(a+b+c)$

$\Rightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})$

$\Rightarrow (a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}> 0$

thật ra câu này là $\geq$ chứ không phải $>$

[tquangmh]

BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT

_ Biến đổi đẳng thức  : là biến đổi các vế của đẳng thức ban đầu trở thành các vế của một đẳng thức khác bằng cách : lũy thừa, chuyển vế, ...

_ Biến đổi đồng nhất : là biến đổi phần điều kiện (nếu có) của đề bài trở thành phần mà đề bài yêu cầu bằng phép biến đổi đẳng thức.

_ Nếu trong bài toán biến đổi đồng nhất, có một đẳng thức điều kiện của bài toán thì mọi điều kiện của đẳng thức đó đc xem là điều kiện của bài toán.

Ví dụ : Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Chứng minh rằng : ab + bc + ca = 0.

Đối với bài này, ta thấy : ba số a, b, c đã có mối liên hệ thông qua đẳng thức này : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Nhưng nếu để ý thì ta còn một lưu ý rất quan trọng thông qua đẳng thức này, đó chính là ĐKXĐ của đẳng thức. ĐKXĐ của đẳng thức này là $a;b;c\neq 0$. ĐKXĐ của đẳng thúc này cũng đc coi là điều kiện của đẳng thức trên. Từ đây, ta cũng nói $a;b;c\neq 0$ cũng là điều kiện của đẳng thức cần chứng minh và được phép sử dụng điều kiện này trong bài toán mà ko cần chứng minh lại.

Giải :  Nhân abc vào đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$, ta có ĐPCM.

_ Các công cụ của bài toán này là các HĐT thông thường cũng như các HĐT đặc biệt sau :

1/ a³ + b³ + c³ = 3abc <=> a + b + c = 0 hoặc a = b = c.

2/ Hằng đẳng thức Largrange (mình nhớ là vậy ) : (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad - bc)²

... cùng phép phân tích đa thức thành nhân tử, đa thức, ...

 

Trong chủ đề này, các bài toán đôi khi sẽ có quan hệ mật thiết với nhau nên các bạn có thể sử dụng kết quả của một bài toán nào đó đã được chứng minh đề áp dụng vào bài toán mới nhưng phải trình bày rõ. Đây là một kiến thức mà theo mình là nó rất thú vị.     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 27-01-2016 - 11:03

[tquangmh]

Bài giải câu c) :

+ Cách 1 : Ở câu e/ Nếu khai thác tiếp VP ta sẽ có :

$VP=2(-ab-bc-ca)= 2\left [-b(a+c)-ca \right ]=2(b^{2}-ac)$

Tương tự : 

$VP=2(c^{2}-ab)=2(a^{2}-bc)$

+ Cách 2 : 

$a+b+c=0\Rightarrow (b+c)^{2}=a^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(a^{2}-bc)$

Tương tự, có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 28-01-2016 - 09:50

[tquangmh]

Bài 3 : 

a/ Cho a + b + c = a³ + b³ + c³ = 1. Chứng minh rằng có ít một ba số a, b, c bằng 1.

b/ Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa : ab + bc + ca = 2015.abc và (a + b + c).2015 = 1.

Tính Giá trị bểu thức : M = a²⁰¹⁵ + b²⁰¹⁵ + c²⁰¹⁵

^{(Câu b/ là đề thi HSG cấp thành phố lớp 9, Bến Tre)} 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 28-01-2016 - 09:57

[tpdtthltvp]

Bài 3 : 

a/ Cho a + b + c = a³ + b³ + c³ = 1. Chứng minh rằng có ít một ba số a, b, c bằng 1.

b/ Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa : ab + bc + ca = 2015.abc và (a + b + c).2015 = 1.

Tính Giá trị bểu thức : M = a²⁰¹⁵ + b²⁰¹⁵ + c²⁰¹⁵

^{(Câu b/ là đề thi HSG cấp thành phố lớp 9, Bến Tre)} 

a/    

Xét $1=(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)=a^3+b^3+c^3\Rightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} a+b=0\Rightarrow c=1 \\ b+c=0\Rightarrow a=1 \\ c+a=0\Rightarrow b=1 \end{bmatrix}$

b/

Vì $(a+b+c).2015=1$ nên $2015=\frac{1}{a+b+c}$

$\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{1}{a+b+c}.abc\Rightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc\Rightarrow a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=0\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0\Rightarrow M=\frac{1}{2015^{2015}}$

[tquangmh]

Bài 4 : Rút gọn các biểu thức sau bằng cách nhanh nhất :

a)  $a^{3}+\left [ \frac{a(2b^{3}-a^{3})}{a^{3}+b^{3}} \right ]^{3} + \left [ \frac{b(2a^{3}-b^{3})}{a^{3}+b^{3}} \right ]^{3}$

b) $\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

 

Nếu các bạn có đề thì có thể đưa lên chủ đề này để cùng giải !   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 28-01-2016 - 19:11

[tpdtthltvp]

Bài 4 : Rút gọn các biểu thức sau bằng cách nhanh nhất :

b) $\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Đặt $\frac{a-b}{a+b}=x;\frac{b-c}{b+c}=y;\frac{c-a}{c+a}=z$

Dễ chứng minh

$(x+1)(y+1)(z+1)=(1-x)(1-y)(1-z)$

$\Rightarrow 1+(x+y+z)+(xy+yz+xz)+xyz=1-(x+y+z)+(xy+yz+xz)-xyz$

$\Rightarrow x+y+z+xyz=0$

Vậy biểu thức có giá trị bằng 0.

[tquangmh]

Câu 4a : $a^{3}+\left [ \frac{a(2b^{3}-a^{3})}{a^{3}+b^{3}} \right ]^{3} + \left [ \frac{b(2a^{3}-b^{3})}{a^{3}+b^{3}} \right ]^{3} =a^{3}+\frac{(2ab^{3}-a^{4})^{3}-(2a^{3}b-b^{4})}{(a^{3}+b^{3})^{3}}=a^{3}+\frac{8a^{3}b^{9}-12a^{6}b^{6}+6a^{9}b^{3}-a^{12}-8a^{9}b^{3}+12a^{6}b^{6}-6a^{3}b^{9}+b^{12}}{(a^{3}+b^{3})^{3}}=a^{3}+\frac{(b^{3}-a^{3})(b^{3}+a^{3})^{3}}{(a^{3}+b^{3})^{3}}=a^{3}+b^{3}-a^{3}=b^{3}$

[tquangmh]

Mình gửi thêm bài 5 :

a/ Cho a, b, c là các số dương và x, y, z là ba số thực không đồng thời bằng 0 thỏa : ax + by + cz = 0. Chứng minh rằng Giá trị biểu thức : 

$P=\frac{ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}{ab(x-y)^{2}+bc(y-z)^{2}+cz^{2}(z-x)^{2}}$ không phụ thuộc vào x, y, z.

b/ Biết rằng : $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\neq 0$. Rút gọn biểu thức sau bằng cách nhanh nhất (không cần nhân các đa thức):

 

$A=\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(ax + by+ cz)^{2}}$ 

c/ Viết x, y, z đôi một khác nhau, chứng minh rằng :

$\frac{(y-z)}{(x-z)(x-y)}+\frac{(z-x)}{(y-x)(y-z)}+\frac{(x-y)}{(z-y)(z-x)}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}$ (Giải bằng 2 cách)

d/ Biết a³ + b³ = 3ab - 1. Tính giá trị biểu thức : A = a + b

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 28-01-2016 - 19:44

[tpdtthltvp]

Mình gửi thêm bài 5 :

a/ Cho a, b, c là các số dương và x, y, z là ba số thực không đồng thời bằng 0 thỏa : ax + by + cz = 0. Chứng minh rằng Giá trị biểu thức : 

$P=\frac{ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}{ab(x-y)^{2}+bc(y-z)^{2}+cz^{2}(z-x)^{2}}$ không phụ thuộc vào x, y, z.

b/ Biết rằng : $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\neq 0$. Rút gọn biểu thức sau bằng cách nhanh nhất (không cần nhân các đa thức):

 

$A=\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(ax + by+ cz)^{2}}$ 

c/ Viết x, y, z đôi một khác nhau, chứng minh rằng :

$\frac{(y-z)}{(x-z)(x-y)}+\frac{(z-x)}{(y-x)(y-z)}+\frac{(x-y)}{(z-y)(z-x)}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}$ (Giải bằng 2 cách)

d/ Biết a³ + b³ = 3ab - 1. Tính giá trị biểu thức : A = a + b

a/

$ax+by+cz=0\Rightarrow (ax+by+cz)^2=0\Rightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2=-2abxy-2acxz-2bycz$

$\Rightarrow ab(x-y)^{2}+bc(y-z)^{2}+ca(z-x)^{2}=abx^2+aby^2+bcy^2+bcz^2+caz^2+cax^2+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2=(a+b+c)(ax^2+by^2+cz^2)$

$\Rightarrow P=\frac{1}{a+b+c}$

b/ (Không biết còn cách khác không! )

Vì $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\neq 0$ nên theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

$(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+cz)^2$

Do đó, $A=1$.

c/

-Cách 1: $\sum \frac{y-z}{(x-z)(x-y)}=\sum \frac{(x-z)-(x-y)}{(x-z)(x-y)}=\sum (\frac{1}{x-y}+\frac{1}{z-x})=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}$

-Cách 2: Chắc là quy đồng!

d/ 

$GT\Rightarrow a^3+b^3-3ab+1=0$

$\Rightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)-3ab+1=0$

$\Rightarrow (a+b+1)[(a+b)^2-(a+b)+1]-3ab(a+b+1)=0$

$\Rightarrow (a+b+1)(a^2-ab+b^2-a-b+1)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} a+b=-1 \\ a^2-ab+b^2-a-b+1=0 \end{bmatrix}$

Cái hoặc thứ 2 xử lí sao đây? 

[tquangmh]

Cố gắng đi, bài b và cách 2 bài c là đều là những cách hay ko đó ...

[tquangmh]

Nhất là bài b đó

[tpdtthltvp]

b/ Biết rằng : $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\neq 0$. Rút gọn biểu thức sau bằng cách nhanh nhất (không cần nhân các đa thức):

 

$A=\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(ax + by+ cz)^{2}}$ 

 

Cách này hả?

Đặt $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow x=ak,y=bk,z=ck$

$\Rightarrow A=\frac{k^2(a^2+b^2+c^2)}{(a^2+b^2+c^2)k^2}=1$