Chủ đề này có 34 trả lời

[tpdtthltvp]

Bài 6:

a/ Cho $\left\{\begin{matrix} x+y=a+b \\ x^2+y^2=a^2+b^2 \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, ta có: $x^n+y^n=a^n+b^n$.

 

b/ Cho $a,b,c$ là các số khác $0$ thỏa mãn: $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2$.

Tính giá trị của biểu thức 

$$P=(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})$$

[tquangmh]

Bài 6 :

a/ $x+y=a+b\Rightarrow (x+y)^{2}=(a+b)^{2}\Rightarrow x^{2}+2xy+y^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \Rightarrow xy = ab$

Có :$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy=(a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2} \Rightarrow (x-y)^{2}=(a-b)^{2}\Rightarrow x-y=a-b$ hoặc $x-y=b-a$

*Với x - y = a - b, có :

$x-y=a-b; x+y=a+b \Rightarrow x=a$ Từ đó có đpcm

*Với x-y = b-a thì ta cũng có điều tương tự

Từ đây ta có đpcm

Cách này ko tổng quát, nhưng đối với bài này thì mình áp dụng cách này

b/ Đặt ab = x; bc = y; ca=x. $\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz \Rightarrow (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=0\Rightarrow(ab+bc+ca)(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}-ab^{2}c-abc^{2}-a^{2}bc)=0$

* Với a²b² + b²c² + c²a² - ab²c - abc² - a²bc = 0. Ta có

$(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}-ab^{2}c-abc^{2}-a^{2}bc)=0 \Leftrightarrow (ab-bc)^{2}+(bc-ca)^{2}+(ca-ab)^{2}=0\Leftrightarrow a=b=c$ 

Từ đó ta có P=(1+1)(1+1)(1+1)=8

*Với ab + bc + ca = 0 (Trường hợp này mình chưa giải đc)

[tpdtthltvp]

Bài 6 :

a/ $x+y=a+b\Rightarrow (x+y)^{2}=(a+b)^{2}\Rightarrow x^{2}+2xy+y^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \Rightarrow xy = ab$

Có :$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy=(a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2} \Rightarrow (x-y)^{2}=(a-b)^{2}\Rightarrow x-y=a-b$ hoặc $x-y=b-a$

*Với x - y = a - b, có :

$x-y=a-b; x+y=a+b \Rightarrow x=a$ Từ đó có đpcm

*Với x-y = b-a thì ta cũng có điều tương tự

Từ đây ta có đpcm

Cách này ko tổng quát, nhưng đối với bài này thì mình áp dụng cách này

b/ Đặt ab = x; bc = y; ca=x. $\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz \Rightarrow (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=0\Rightarrow(ab+bc+ca)(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}-ab^{2}c-abc^{2}-a^{2}bc)=0$

*Với ab + bc + ca = 0 (Trường hợp này mình chưa giải đc)

*Với $x+y+z=0$.

Áp dụng hằng đẳng thức 

$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(y+z)(z+x)$

$\Rightarrow -(x^3+y^3+z^3)=3(x+y)(y+z)(z+x)$

$\Rightarrow -3xyz=(x+y)(y+z)(z+x)$

Hay $-a^2b^2c^2=abc(a+b+c)$

$\Rightarrow -abc=(a+b)(b+c)(c+a)$

$\Rightarrow -1=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{c+a}{a}=(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})$

[I Love MC]

Thử vài bài khó xem nhé :  
Bài 7 : Đơn giản biểu thức : 
$\frac{1}{(a+b)^3}.(\frac{1}{a^4}-\frac{1}{b^4})+\frac{2}{(a+b)^4}(\frac{1}{a^3}-\frac{1}{b^3})+\frac{2}{(a+b)^5}(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2})$ 
Bài 8 : Đơn giản biểu thức : 
$\frac{a^k}{(a-b)(a-c)(x-a)}+\frac{b^k}{(b-a)(b-c)(x-b}+\frac{c^k}{(c-b)(c-a)(x-c)}$ với $k=0,1,2$ và $a \ne b \ne c$ 

[tquangmh]

Bài 7 : 

_ Gọi N là đa thức cần rút gọn.

_ Xét : $N = ... = \frac{1}{(a+b)^{3}}.\frac{b^{4}-a^{4}}{a^{4}b^{4}}+\frac{2}{(a+b)^{4}}.\frac{b^{3}-a^{3}}{a^{3}b^{3}}+\frac{2}{(a+b)^{5}}.\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{1}{(a+b)^{3}}.\frac{(b^{2}+a^{2}).(a+b).(b-a)}{a^{4}b^{4}}+\frac{2(b^{3}-a^{3})}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}+\frac{2}{(a+b)^{5}}.\frac{(b-a)(a+b)}{a^{2}b^{2}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2(b^{3}-a^{3})}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}+\frac{2(b-a)}{a^{2}b^{2}(a+b)^{4}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2b^{3}-2a^{3}+2ab^{2}-2a^{2}b}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}$

$=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2(a+b)^{2}(b-a)}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2(b-a)}{a^{3}b^{3}(a+b)^{2}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)+2ab(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}=\frac{(b-a)(a+b)^2}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}=\frac{b-a}{a^{4}b^{4}} \Rightarrow N=\frac{b-a}{a^{4}b^{4}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 05-02-2016 - 20:47

[I Love MC]

8) Cho $f(x)=\sum \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}.a^k-x^k$ thì $f(x)$ là một đa thức của biến $x$ ko có bậc quá $2$ 
Nếu $k=0,1,2$ thì thay lần lượt giá trị $a,b,c$ cho ta $f(a)=f(b)=f(c)=0$ 
Suy ra $a,b,c$ là $3$ nghiệm của $f(x) \Leftrightarrow f(x)=0$ 
$\Rightarrow f(x)=x^k$
Áp dụng cho bài toán . Suy ra $VT=\frac{x^k}{(x-a)(x-b)(x-c)}$ trong đó $k=0,1,2$

[tquangmh]

Bài 9 :

a/ Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thỏa mãn 2 đẳng thức sau :

$1) a+b+c=a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

$2) \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$

Tính Giá trị biểu thức : $P=xy+yz+zx$

b/ Cho 4 số nguyên a, b, c, d thỏa mãn 2 đẳng thức sau :

$1)a+b=c+d$

$2)ab+1=cd$

Chứng minh : c=d

c/ Cho các số x, y, z thỏa mãn 3 đẳng thức sau :

$1)xy+x+y=3$

$2)yz+y+z=8$

$3) xz+z+x=15$

Tìm Giá trị của $P=x+y+z$

 

Bài 10 : Tam giác ABC có các cạnh với độ dài tương ứng là AB=c; AC=b; BC=a. Với mỗi trường hợp dưới dây thì "Tam giác ABC là tam giác gì" nếu (giải từng trường hợp) :

1/$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}$

2/ (a+b)(b+c)(c+a)=8abc

3/ a³ + b³ + c³ = 3abc

[tpdtthltvp]

Bài 9 :

a/ Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thỏa mãn 2 đẳng thức sau :

$1) a+b+c=a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

$2) \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$

Tính Giá trị biểu thức : $P=xy+yz+zx$

b/ Cho 4 số nguyên a, b, c, d thỏa mãn 2 đẳng thức sau :

$1)a+b=c+d$

$2)ab+1=cd$

Chứng minh : c=d

c/ Cho các số x, y, z thỏa mãn 3 đẳng thức sau :

$1)xy+x+y=3$

$2)yz+y+z=8$

$3) xz+z+x=15$

Tìm Giá trị của $P=x+y+z$

 

Bài 10 : Tam giác ABC có các cạnh với độ dài tương ứng là AB=c; AC=b; BC=a. Với mỗi trường hợp dưới dây thì "Tam giác ABC là tam giác gì" nếu (giải từng trường hợp) :

1/$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}$

2/ (a+b)(b+c)(c+a)=8abc

3/ a³ + b³ + c³ = 3abc

Bài 9:

a)

Đặt $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=ak \\ y=bk \\ z=ck \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P=k^2(ab+bc+ca)(1)$

Mặt khác: $a+b+c=a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2\Rightarrow ab+bc+ca=0(2)$

Từ $(1),(2)\Rightarrow P=0$

b)

$a+b=c+d\Rightarrow a=c+d-b$ nên $ab+1=cd\Leftrightarrow (c+d-b)b+1=cd\Leftrightarrow (d-b)(b-c)=1$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} b-d=b-c=1 \\ b-d=b-c=-1 \end{bmatrix}\Rightarrow c=d$

c)

$\left\{\begin{matrix}

xy+x+y=3 \\ yz+y+z=8 \\ xz+z+x=15 

\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}

(x+1)(y+1)=4 \\ (y+1)(z+1)=9 \\ (x+1)(z+1)=16 

\end{matrix}\right.\Rightarrow (x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2=576$

Từ đó tính được $x,y,z$.

 

Bài 10:

1) Áp dụng BĐT: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\Rightarrow a=b=c\Rightarrow$ tam giác đó đều.

2) $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{cd}.2\sqrt{ca}=8abc\Rightarrow a=b=c$

3) $a^3+b^3+c^3\geq 3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\Rightarrow a=b=c$

 

P/S: Mấy bài này bạn lấy trong sách 23 chuyên đề phải không?    

[tquangmh]

Bài 10 đừng dùng Bất đẳng thức thì hay hơn. Thử làm bằng cách biến đổi đi.

Còn mấy bài này là mình dạo chơi trên mạng rồi có thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 13-02-2016 - 09:24

[tpdtthltvp]

2/ (a+b)(b+c)(c+a)=8abc

3/ a³ + b³ + c³ = 3abc

 

Bài 10 đừng dùng Bất đẳng thức thì hay hơn. Thử làm bằng cách biến đổi đi.

Còn mấy bài này là mình dạo chơi trên mạng rồi có thôi

2/ $\Leftrightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2=0\Leftrightarrow a=b=c$

3/ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=0\Leftrightarrow a=b=c$

[tquangmh]

Cho : x, y > 0 thỏa mãn : $\frac{x+y}{2}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}=2\sqrt[3]{\frac{x^{3}+y^{3}}{2}}$. Chứng minh rằng : x = y

[tquangmh]

Bài đó mình kiếm trên mạng mà mình không biết lời giải  , bài gợi ý là dùng BĐT.

[Longtunhientoan2k]

Cho : x, y > 0 thỏa mãn : $\frac{x+y}{2}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}=2\sqrt[3]{\frac{x^{3}+y^{3}}{2}}$. Chứng minh rằng : x = y

 Theo mình thì bài này nên liên hợp là ra thôi,không cần phải dùng tới bất đẳng thức

[thjiuyghjiuytgjkiutghj]

Tính $A=2x^{3}+2x^{2}+1$. Với $x=\frac{1}{3}(\sqrt[3]{\frac{23+\sqrt{513}}{4}}+\sqrt[3]{\frac{23-\sqrt{513}}{4}}-1)$

[Hai2003]

Cho : x, y > 0 thỏa mãn : $\frac{x+y}{2}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}=2\sqrt[3]{\frac{x^{3}+y^{3}}{2}}$. Chứng minh rằng : x = y

Đầu tiên, ta chứng minh $\sqrt[3]{\frac{x^{3}+y^{3}}{2}}\geq \frac{x+y}{2}$

Lập phương cả 2 vế, ta được $\frac{x^3+y^3}{2}\geq \frac{(x+y)^3}{8}\\ \Leftrightarrow 4(x^3+y^3)\geq x^3+y^3+3x^2y+3xy^2\\ \Leftrightarrow x^3+y^3\geq x^2y+xy^2\\ \Leftrightarrow (x-y)^2(x+y)\geq 0$

BĐT trên luôn đúng vì $x,y>0$, nên $\sqrt[3]{\frac{x^{3}+y^{3}}{2}}\geq \frac{x+y}{2} \ \color{red}{(1)}$

 

Tiếp theo, ta chứng minh $\sqrt[3]{\frac{x^{3}+y^{3}}{2}}\geq \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$

Tương tự, mũ 6 cả 2 vế: $\frac{(x^3+y^3)^2}{4}\geq \frac{(x^2+y^2)^3}{8}\\ \Leftrightarrow 2x^6+4x^3y^3+2y^6\geq x^6+y^6+3x^4y^2+3x^2y^4\\ \Leftrightarrow x^6+y^6-2x^3y^3-3x^2y^2(x^2+y^2)+6x^3y^3\geq 0\\ \Leftrightarrow (x^3-y^3)^2-3x^2y^2(x^2+y^2-2xy)\geq 0\\ \Leftrightarrow (x-y)^2(x^2+xy+y^2)^2-3x^2y^2(x-y)^2\geq 0\\ \Leftrightarrow (x-y)^2(x^4+y^4+2x^3y+2xy^3)\geq 0$

BĐT trên cũng luôn đúng, nên $\sqrt[3]{\frac{x^{3}+y^{3}}{2}}\geq \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} \ \ \ \ \color{red}{(2)}$

$\color{red}{(1),(2)}\implies 2\sqrt[3]{\frac{x^{3}+y^{3}}{2}}\geq \frac{x+y}{2}+\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$

Dấu bằng chỉ xảy ra khi $x=y$

Vậy $x=y$