2 replies to this topic

[Math Master]

Cho a,b là các số thực thỏa mãn: $a+b+4ab = 4a^2+4b^2$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A = 20(a^3+b^3) - 6(a^2+b^2)+2013$

[Minhnguyenthe333]

Cho a,b là các số thực thỏa mãn: $a+b+4ab = 4a^2+4b^2$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A = 20(a^3+b^3) - 6(a^2+b^2)+2013$

Đặt $u=a+b$.Từ gt$=>4u^2-u=12ab$
$=>A=20u(u^2-3ab)-6(u^2-2ab)+2013=20u^3-u(20u^2-5u)-6u^2+4u^2-u+2013$
$<=>A=3u^2-u+2013$

Edited by Minhnguyenthe333, 31-01-2016 - 09:42.

[Trung Kenneth]

Từ gt ta có: $\frac{a+b}{4}= a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab\geq(a+b)^2-\frac{3.(a+b)^2}{4} =\frac{(a+b)^2}{4}$

=> $a+b\geq (a+b)^2 => 0\leq a+b\leq 1$

Ta có: $A= 20.(a^3+b^3)-6.(a^2+b^2)+2013= 20.(a+b).(a^2+b^2-ab)-6.(a^2+b^2)+2013$

Thay $a^2-ab+b^2=\frac{a+b}{4}$

=> $A= 20.\frac{(a+b)^2}{4}-6.(a^2+b^2)+2013\leq 5.(a+b)^2- 6.\frac{(a+b)^2}{2}+2013$

=> $A\leq 5.(a+b)^2-3.(a+b)^2+2013=2.(a+b)^2+2013\leq 2+2013=2015$ (do $0\leq a+b\leq 1$)

Vậy max A= 2015 khi a=b=$\frac{1}{2}$