Chủ đề này có 4 trả lời

[hthang0030]

Cho p,q là 2 số nguyên tố thoả mãn p-1 chia hết cho q và $q^3$ -1 chia hết cho p
CMR:p+q là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 01-02-2016 - 11:56

[I Love MC]

Ta có $q^3-1=(q-1)(q^2+q+1) \vdots p$ 
Vì $gcd(q-1,q^2+q+1)=1$ nên xét 2 trường hợp : 
TH1 : $q-1 \vdots p$ 
Suy ra $(q-1)(p-1) \vdots pq$ điều này vô lí vì $(p-1)(q-1) \le 0$ ($p,q$ là số nguyên tố)
TH2 : $q^2+q+1 \vdots p$ 
Suy ra $pq|(q^2+q+1-p)$ 
Đặt $q^2+q+1-p=mpq$ 
Vì $p-1 \vdots q$ suy ra $p>q$ 
Như vậy $q^2+q+1-p=mpq<q^2+q=q(q+1) \le pq$  
Suy ra $m \in$ {$0;1$}  
$m=0$ suy ra $p=q^2+q+1$ suy ra $p+q=(q+1)^2$ là số chính phương 
$m=1$ suy ra $q^2+q+1=p(q+1)$ 
Suy ra $q^2 \vdots q+1$ 
$\Leftrightarrow q=0,q=-2$ (vô lí) 
Vậy ta có đpcm 
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 01-02-2016 - 18:29

[hthang0030]

Quá hay!Mình cũng làm như bạn nhưng TH2 mình không giải đc       Góp ý 1 chút là phần đầu bạn xét UCLN bị thiếu có lẽ do vội nhưng cơ bản thì ý tưởng của bạn rất hay!Thanks nhiều     

[I Love MC]

Quá hay!Mình cũng làm như bạn nhưng TH2 mình không giải đc       Góp ý 1 chút là phần đầu bạn xét UCLN bị thiếu có lẽ do vội nhưng cơ bản thì ý tưởng của bạn rất hay!Thanks nhiều     

Lúc đó mình bị ngộ nhận chỉ có TH : $m=1$

[hthang0030]

Không sao bạn ạ!Những TH khác cũng thế thôi