Bài toán: Tìm $k$ sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên dương:
$$(x+y+z+t)^2=kxyzt$$
Bài toán: Tìm $k$ sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên dương:
$$(x+y+z+t)^2=kxyzt$$
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Tham khảo lời giải mấy bác trên này thử VMO 2002
Hoặc của Juliel's blog
Hình như Vieta Jumping có lẽ cách duy nhất
Một bài toán khác trong tài liệu của thầy Dũng :
Mất biến $t$
Bài toán : Tìm $k$ nguyên dương để phương trình sau có nghiệm nguyên dương
$(x+y+z)^2=kxyz$
Solution :
Giả sử $k$ là một giá trị cần tìm . Gọi $x_0,y_0,z_0$ là nghiệm của nó và $x_0+y_0+z_0$ min
Không giảm tính tổng quát giả sử $x_0 \ge y_0 \ge z_0$
Phương trình viết lại trở thành : $x^2-(kyz-2y-2z)x+(y+z)^2=0$ (*)
Suy ra $x_0$ là nghiệm của phương trình : $x^2-(ky_0z_0-2y_0-2z_0)x+(y_0+z_0)^2=0$ (**)
Theo định lí Viet :
$x_1=ky_0z_0-2y_0-2z_0-x_0=\frac{(y_0+z_0)^2}{x_0}$ cũng là nghiệm của (**)
Từ đó $(x_1,y_0,z_0)$ là nghiệm của (*) và $x_1 \in \mathbb{N^*}$
Ta có $ky_0z_0-2y_0-2z_0-x_0 \ge x_0$ và $\frac{(y_0+z_0)^2}{x_0} \ge x_0$
Hay $y_0+z_0 \ge x_0 \Rightarrow ky_0z_0 \ge 4x_0$
Chia $2$ vế của phương trình $\sum x_0^2+2(\sum x_0y_0)=kx_0y_0z_0$ cho $x_0y_0z_0$ cho ta :
$\sum \frac{x_0}{y_0z_0}+\sum \frac{2}{x_0}=k$
Suy ra $k \le 10$
Xét TH
$3$ biến đã dài không biết $4$ biến ra sao :l
Nhưng chỉ cần chỉ ra cặp nghiệm là ok thôi a
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$(a^{3}+b)(b^{3}+a)=n^{n}$Started by huytran08, 09-06-2023 nghiệm nguyên |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
CMR tồn tại vô hạn m,n sao cho (m,n)=1 và ptr $(x+m)^{3}=nx$ có 3 nghiệm nguyên khác nhauStarted by Explorer, 02-08-2022 nghiệm nguyên, số học, tồn tại and 3 more... |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
tìm các số nguyên dương x và y sao cho $x^2-2$ chia hết cho $xy+2$Started by nguyentrongvanviet, 21-04-2021 số học, chia hết, nghiệm nguyên |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$$x^3+ y^3+ z^3 = 2001$$Started by fun123hung, 18-04-2019 nghiệm nguyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Giải phương trình nghiệm nguyênStarted by hanguyen225, 17-01-2019 nghiệm nguyên |
|
0 members, 1 guests, 0 anonymous users