$f(2f(x)+y)=x+f(2f(y)-x)$
#1
Đã gửi 01-02-2016 - 13:53
#2
Đã gửi 01-02-2016 - 20:23
#3
Đã gửi 05-02-2016 - 20:06
#4
Đã gửi 17-02-2016 - 18:54
Tìm tất cả các hàm $f: R \rightarrow R$ thỏa: $f(2f(x)+y)=x+f(2f(y)-x) \forall x,y \in R$
Thay $y=-2f(x) $ , ta được
$f(0) = x +f(2f(-2f(x)) -x) $
Do đó $f$ toàn ánh
Khi đó $\exists a: f(a)=0$
Với mỗi $x, \exists b: f(b) = \frac{x}{2} $
Thay $y=b$, ta được
$f(2f(x) +b) = x + f(0) $
Thay $x=a => f(b) = a+f(0) => f(0) = -\frac{a}{2} $
Thay $x=y=a => f(-a)=-a $
Ta cũng có $f(0) = f(2f(0) -a ) => f(0) = f(-2a) $
Thay $y=0, x=-a => f(0)= f(-2a)=-a + f(0) => a=0 => f(0)=0 $
Do đó, Thay $x=0 => f(y) =f(2f(y)) (*)$
$y=0=> f(2f(x)) = x +f(-x)$
Do đó $f(x) = x+f(-x) $
Do đó, ta được $f(2f(x) +y )=f( x-2f(y))$
Thay $x=0 => f(y) =f(-2f(y)) = y + f(2f(y)) $ vô lý với $(*)$
Do đó không có hàm $f$ thỏa YCBT
- UphluMuach yêu thích
#5
Đã gửi 05-03-2016 - 19:24
Thay $y=-2f(x) $ , ta được
$f(0) = x +f(2f(-2f(x)) -x) $
Do đó $f$ toàn ánh
Khi đó $\exists a: f(a)=0$
Với mỗi $x, \exists b: f(b) = \frac{x}{2} $
Thay $y=b$, ta được
$f(2f(x) +b) = x + f(0) $
Thay $x=a => f(b) = a+f(0) => f(0) = -\frac{a}{2} $
Thay $x=y=a => f(-a)=-a $
Ta cũng có $f(0) = f(2f(0) -a ) => f(0) = f(-2a) $
Thay $y=0, x=-a => f(0)= f(-2a)=-a + f(0) => a=0 => f(0)=0 $
Do đó, Thay $x=0 => f(y) =f(2f(y)) (*)$
$y=0=> f(2f(x)) = x +f(-x)$
Do đó $f(x) = x+f(-x) $
Do đó, ta được $f(2f(x) +y )=f( x-2f(y))$
Thay $x=0 => f(y) =f(-2f(y)) = y + f(2f(y)) $ vô lý với $(*)$
Do đó không có hàm $f$ thỏa YCBT
anh ơi , sao đoạn này suy ra luôn được f toàn ánh hả anh, em mới học PTH nên chưa rõ lắm?
#6
Đã gửi 05-03-2016 - 22:46
anh ơi , sao đoạn này suy ra luôn được f toàn ánh hả anh, em mới học PTH nên chưa rõ lắm?
Đơn giản thôi em
$f(0)=x+f(2f(−2f(x))−x)$
Em thay $x$ bởi $f(0)-x$ , ta được
$x = f(2f(-2f(f(0)-x)) - f(0) +x) $
Với mỗi $x \in R$, ta chọn $y=2f(-2f(f(0)-x)) - f(0) +x $
Thì ta luôn có $x=f(y) $
Do đó, $f$ toàn ánh
f(0)=x+f(2f(−2f(x))−x)
- nuoccam yêu thích
#7
Đã gửi 05-03-2016 - 23:05
Tìm tất cả các hàm $f: N* \rightarrow N*$ thỏa: $f$ tăng nghiêm ngặt và $f(mf(n))=n^2f(mn) \forall m, n \in N*$
Bài này ta sẽ giải bằng phương pháp thêm biến
Ta tính
$f(mf(nf(z)))=n^2f^2(z)f(mnf(z))=n^2.f^2(z).z^2f(mnz)$
$f(mf(nf(z)))=f(mz^2f(nz))=n^2z^2f(mnz^3) $
Do đó
$f(mnz^3) = f^2(z).f(mnz) $
Từ đây, ta được $f(z^n) =f^n(z) $
Do đó, $f$ nhân tính
Suy ra $f(x)=x^a => a=2 $
- UphluMuach yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh