Chủ đề này có 1 trả lời

[caybutbixanh]

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} (2-y).(\sqrt{x}-\sqrt{2-x})=\sqrt{x}.(\sqrt{xy}+1)\\ 2x^2y-xy^2+2x^2-y^2-3xy=8x-3y+2 \end{matrix}\right.x,y \in \mathbb{R}$

[caybutbixanh]

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} (2-y).(\sqrt{x}-\sqrt{2-x})=\sqrt{x}.(\sqrt{xy}+1) (1)\\ 2x^2y-xy^2+2x^2-y^2-3xy=8x-3y+2  (2)\end{matrix}\right.x,y \in \mathbb{R}$

Lời giải:

Điều kiện: $0 \leq x \leq 2;y\geq 0$

$(2) \Leftrightarrow 2x^2(1+y)-3x(1+y)+3(1+y)=y^2(1+x)+5(x+1)\\$

$\Leftrightarrow (1+y)(2x^2-3x+3)=(y^2+5)(x+1)\\$

$\Leftrightarrow \frac{y^2+5}{y+1}=\frac{2x^2-3x+3}{x+1} $

Xét hàm số $f(x)=\frac{2x^2-3x+3}{x+1}$ , $0 \leq x \leq 2$

$f'(x)=\frac{2x^2+4x-6}{(x+1)^2}\\$

$f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2+2x-3=0 \Leftrightarrow x=1 ( 0 \leq x \leq 2)$

Tính $f(0);f(1);f(2)$ ta suy ra $1 \leq f(x) \leq 3 \\$

$\Rightarrow 1 \leq \frac{y^2+5}{y+1} \leq 3 \Leftrightarrow \begin{cases}y^2-y+4 \geq 0\\y^2-3y+2 \leq 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow 1 \leq y \leq 2$

$(1) \Leftrightarrow (y-1)\sqrt{x}+(2-y)\sqrt{2-x}+x\sqrt{y} =0 (*)\\$

$\begin{cases} 0\leq x\leq 2 \\ 1\leq y \leq 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (y-1)\sqrt{x} \geq 0 \\ (2-y)\sqrt{2-x} \geq 0 \\ x\sqrt{y } \geq 0\end{cases}$

$\Rightarrow VT(*) \geq 0$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}(y-1)\sqrt{x}=0 \\ (2-y)\sqrt{2-x}=0 \\x\sqrt{y}=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=2 \\x=0 \end{cases} (TM)$

Kết luận :$(x;y)=(0;2)$