Binh nhì
1.Chứng minh rằng $x^{5}+5x^{4} +3$ không viết được dưới dạng tích của 2 đa thức bậc nhỏ hơn .
2. Cho f(x) =$ax^{2}+bx+c$ có tính chất $\left | f(x) \right |\leq p$ với mọi x [-1;1] . Hãy tìm q nhỏ nhất để $\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |\leq p.q$
Đại úy
2) Ta gọi $q$ là hệ số đẹp
Theo giả thiết ta có $|f(0)| \le p,|f(1)| \le p,|f(-1)| \le p$
Ta sẽ tính $a,b,c$ theo $f(0),f(1),f(-1)$
$\begin{cases} &f(0)=c&\\&f(1)=a+b+c&\\&f(-1)=a-b+c& \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} &c=f(0)&\\&a=\frac{f(1)+f(-1)}{2}-f(0)&\\&b=\frac{f(1)-f(-1)}{2}& \end{cases}$
Do đó
$|a|+|b|+|c|=|\frac{f(1)+f(-1)}{2}-f(0)|+|f(0)|+|\frac{f(1)-f(-1)}{2}|$
Ta sử dụng bđt "huyền thoại" =)) $|x|+|y| \ge |x+y|$
$|a|+|b|+|c| \le \frac{1}{2}.|f(1)|+\frac{1}{2}.|f(-1)|+|f(0)|+\frac{1}{2}.|f(1)|+\frac{1}{2}.|f(-1)|+|f(0)|=4p$
Vậy hệ số đẹp ở đây ta chọn $q=4$
Đại úy
1.Chứng minh rằng $x^{5}+5x^{4} +3$ không viết được dưới dạng tích của 2 đa thức bậc nhỏ hơn .
2. Cho f(x) =$ax^{2}+bx+c$ có tính chất $\left | f(x) \right |\leq p$ với mọi x [-1;1] . Hãy tìm q nhỏ nhất để $\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |\leq p.q$
1) Nhận thấy $x^5+5x^4+3$ nên sẽ không có dạng $(x+c)(x^4+bx^3+dx^2+ex+f)$
Đến lần lượt xét trường hợp :
$x^5+5x^4+3=(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)$ hệ số bất định và phản chứng
Đại úy
Câu 2 : Ta có thể cụ thể bài toán như sau :
Moldova MO Grade 9 :
Xét tât cả các số thực $a \ne 0$ , $b,c \in \mathbb{R}$ và $f(x)=ax^2+bx+c$ thỏa mãn tính chất $|f(x)| \le 1$ với mọi $x \in [0;1]$.
Tìm giá trị lớn nhất của $|a|+|b|+|c|$
Sĩ quan
1) Nhận thấy $x^5+5x^4+3$ nên sẽ không có dạng $(x+c)(x^4+bx^3+dx^2+ex+f)$
Đến lần lượt xét trường hợp :
$x^5+5x^4+3=(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)$ hệ số bất định và phản chứng
anh lam ro dc ko, e lam roi ma ko dc
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
Đại úy
anh lam ro dc ko, e lam roi ma ko dc
Đặt $f(x)=x^5+5x^4+3$ . Ta sẽ chứng mình $f(x)$ là đa thức bất khả quy.
Đại úy
anh lam ro dc ko, e lam roi ma ko dc
Với lại anh không biết đề có yêu là đa thức bất khả quy với hệ số gì nữa .
Đại úy
Sử dụng tiêu chuẩn Oskar Perron
Vì $|5|>1+|3|$ nên đa thức $x^5+5x^4+3$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$
Đại úy
Mở rộng :
Bài 1 : Cho đa thức với hệ số thực $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ và một số $\alpha>0$ .
Biết với $|x|<1$ thì có $|f(x)|<\alpha$. Tìm $|a|,|b|,|c|,|d|$ lớn nhất.
Bài 2 : Liên Xô 1973.
Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ giả sử $|f(x)| \le 1$ khi $|x| \le 1$
Chứng minh $|cx^2+bx+a| \le 2$ khi $|x| \le 1$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
