Đến nội dung

Hình ảnh

CMR luôn tồn tại hai số $a_i,a_j$ $(1\leqslant j\leqslant i\leqslant n+2)$ sao cho $n<a_i-a_j<2n$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
Cho số tự nhiên $n>1$ và $n+2$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{n+2}$ thoả mãn $1\leqslant a_1<a_2<....< a_{n+2}\leqslant 3n$.CMR luôn tồn tại hai số $a_i,a_j$ $(1\leqslant j\leqslant i\leqslant n+2)$ sao cho $n<a_i-a_j<2n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 05-02-2016 - 23:06


#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Cho số tự nhiên $n>1$ và $n+2$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{n+2}$ thoả mãn $1\leqslant a_1\leqslant a_2\leqslant ....\leqslant a_{n+2}\leqslant 3n$.CMR luôn tồn tại hai số $a_i,a_j$ $(1\leqslant j\leqslant i\leqslant n+2)$ sao cho $n<a_i-a_j<2n$

Phần này phải đăng ở số học chứ nhỉ ?



#3
12345678987654321123456789

12345678987654321123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 187 Bài viết

Em là vế phải, có gì sai anh chỉ bảo :v

Giả sử trái với điều phải chứng minh, tức là không tồn tại $a_i$ và $a_j\;\;(1 \leq j \leq i \leq n+2)$ sao cho $a_i-a_j<2n$, hay với mọi $i,j(1 \leq j \leq i \leq n+2)$ ta luôn có

$a_i-a_j\geq2n\Leftrightarrow 2n+a_j \leq a_i \leq 3n\Leftrightarrow a_j \leq n \Leftrightarrow 1 \leq a_1 \leq a_2 \leq...\leq a_{n+1}\leq n$

Do đó $n+1$ số $a_1,a_2,...,a_{n+1}$ sẽ nhận giá trị bất kì trong $\left[1;n\right]$, theo nguyên lí Dirichlet sẽ tồn tại $i$ và $j\;\;(1 \leq j \leq i \leq n+1)$ sao cho $a_i=a_j$, suy ra $a_i-a_j=0<2n$, trái với giả sử, nên có điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12345678987654321123456789: 05-02-2016 - 17:48

Even when you had two eyes, you'd see only half the picture.


#4
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Em là vế phải, có gì sai anh chỉ bảo :v

Giả sử trái với điều phải chứng minh, tức là không tồn tại $a_i$ và $a_j\;\;(1 \leq j \leq i \leq n+2)$ sao cho $a_i-a_j<2n$, hay với mọi $i,j(1 \leq j \leq i \leq n+2)$ ta luôn có

$a_i-a_j\geq2n\Leftrightarrow 2n+a_j \leq a_i \leq 3n\Leftrightarrow a_j \leq n \Leftrightarrow 1 \leq a_1 \leq a_2 \leq...\leq a_{n+1}\leq n$

Do đó $n+1$ số $a_1,a_2,...,a_{n+1}$ sẽ nhận giá trị bất kì trong $\left[1;n\right]$, theo nguyên lí Dirichlet sẽ tồn tại $i$ và $j\;\;(1 \leq j \leq i \leq n+1)$ sao cho $a_i=a_j$, suy ra $a_i-a_j=0<2n$, trái với giả sử, nên có điều phải chứng minh

Thật chứ ? Trong $4$ số tự nhiên liên tiếp $1,2,3,4$ không tồn tại hai số nào bằng nhau cả ? 



#5
12345678987654321123456789

12345678987654321123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 187 Bài viết

Thật chứ ? Trong $4$ số tự nhiên liên tiếp $1,2,3,4$ không tồn tại hai số nào bằng nhau cả ? 

Em chưa hiểu ý bác lắm, $n+1$ con thỏ nhốt vào $n$ cái chuồng thì phải tồn tại ít nhất một chuồng chứa $2$ con thỏ chứ?

Nếu lấy theo ví dụ của bác thì lấy số tự nhiên bất kì trong khoảng [1;4] thì luôn tồn tại 2 số bằng nhau.


Even when you had two eyes, you'd see only half the picture.


#6
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Em chưa hiểu ý bác lắm, $n+1$ con thỏ nhốt vào $n$ cái chuồng thì phải tồn tại ít nhất một chuồng chứa $2$ con thỏ chứ?

Nếu lấy theo ví dụ của bác thì lấy số tự nhiên bất kì trong khoảng [1;4] thì luôn tồn tại 2 số bằng nhau.

Vậy thì $2=3$ hay $2=4$ :D . Đọc kĩ lại Dirichlet nhé



#7
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Cho số tự nhiên $n>1$ và $n+2$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{n+2}$ thoả mãn $1\leqslant a_1\leqslant a_2\leqslant ....\leqslant a_{n+2}\leqslant 3n$.CMR luôn tồn tại hai số $a_i,a_j$ $(1\leqslant j\leqslant i\leqslant n+2)$ sao cho $n<a_i-a_j<2n$

$n=3$ 
$a_1=a_2=a_3$ 
$0>n$ 



#8
12345678987654321123456789

12345678987654321123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 187 Bài viết

Vậy thì $2=3$ hay $2=4$ :D . Đọc kĩ lại Dirichlet nhé

Em nghĩ là bác chưa hiểu ý em, hoặc là em chưa hiểu ý bác.

Giả sử $1 \leq a \leq 4;\;1\leq b \leq 4;\;1\leq c\leq 4;\;1\leq d \leq 4;\;1\leq e \leq 4$ với $a,b,c,d,e$ là các số tự nhiên.

Thì chắc chắn trong $a,b,c,d,e$ phải có 2 số bằng nhau vì nếu không thì :

Không mất tính tổng quát, giả sử : $1 \leq a<b<c<d<e \leq 4$

Vì các số này đều là số tự nhiên nên $\left\{\begin{matrix} a\leq b-1\\ b \leq c-1\\ c \leq d-1\\ d \leq e-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow a \leq b-1 \leq c-2 \leq d-3 \leq e-4 \leq 4-4=0$ (vô lí)

P/s :

Em chưa hiểu ý bác lắm, $n+1$ con thỏ nhốt vào $n$ cái chuồng thì phải tồn tại ít nhất một chuồng chứa $2$ con thỏ chứ?

Nếu lấy theo ví dụ của bác thì lấy số tự nhiên bất kì trong khoảng [1;4] thì luôn tồn tại 2 số bằng nhau.

Cái câu này của em nói mơ hồ thật, mà em cũng không biết nói sao cho đúng nữa :)


Even when you had two eyes, you'd see only half the picture.


#9
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Em nghĩ là bác chưa hiểu ý em, hoặc là em chưa hiểu ý bác.

Giả sử $1 \leq a \leq 4;\;1\leq b \leq 4;\;1\leq c\leq 4;\;1\leq d \leq 4;\;1\leq e \leq 4$ với $a,b,c,d,e$ là các số tự nhiên.

Thì chắc chắn trong $a,b,c,d,e$ phải có 2 số bằng nhau vì nếu không thì :

Không mất tính tổng quát, giả sử : $1 \leq a<b<c<d<e \leq 4$

Vì các số này đều là số tự nhiên nên $\left\{\begin{matrix} a\leq b-1\\ b \leq c-1\\ c \leq d-1\\ d \leq e-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow a \leq b-1 \leq c-2 \leq d-3 \leq e-4 \leq 4-4=0$ (vô lí)

P/s :

Cái câu này của em nói mơ hồ thật, mà em cũng không biết nói sao cho đúng nữa :)

Mà đề sai rồi bác ko cần nói nữa đâu



#10
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Mà đề sai rồi bác ko cần nói nữa đâu


Đề đúng chứ sai gì

#11
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Đề đúng chứ sai gì

Giả sử các số đó đều bằng nhau ? $0>n$ 



#12
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Giả sử các số đó đều bằng nhau ? $0>n$

Vậy mình sửa lại đk ở đề bài

#13
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Cho số tự nhiên $n>1$ và $n+2$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{n+2}$ thoả mãn $1\leqslant a_1<a_2<....< a_{n+2}\leqslant 3n$.CMR luôn tồn tại hai số $a_i,a_j$ $(1\leqslant j\leqslant i\leqslant n+2)$ sao cho $n<a_i-a_j<2n$

Giả sử ta cho $n=2$ tức ta sẽ có $4$ số nguyên dương $a_1,a_2,..,a_4$ 
Giả sử ta cho $a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4$ 
Vậy thì sẽ tồn tại đâu ra hai số $a_i,a_j$ để $a_i-a_j>4$ 
Đề phải chặt hơn chứ ?



#14
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Giả sử ta cho $n=2$ tức ta sẽ có $4$ số nguyên dương $a_1,a_2,..,a_4$ 
Giả sử ta cho $a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4$ 
Vậy thì sẽ tồn tại đâu ra hai số $a_i,a_j$ để $a_i-a_j>4$ 
Đề phải chặt hơn chứ ?

$4>a_i-a_j>n=2$ thì chọn 2 số $1$ và $4$

#15
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Cho số tự nhiên $n>1$ và $n+2$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{n+2}$ thoả mãn $1\leqslant a_1<a_2<....< a_{n+2}\leqslant 3n$.CMR luôn tồn tại hai số $a_i,a_j$ $(1\leqslant j\leqslant i\leqslant n+2)$ sao cho $n<a_i-a_j<2n$

Đã giải tại đây



#16
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
 

 

Cho số tự nhiên $n>1$ và $n+2$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{n+2}$ thoả mãn $1\leqslant a_1<a_2<....< a_{n+2}\leqslant 3n$.CMR luôn tồn tại hai số $a_i,a_j$ $(1\leqslant j\leqslant i\leqslant n+2)$ sao cho $n<a_i-a_j<2n$

  •  Với mọi k đặt $b_i=a_i +k$ thì $a_i - a_j= b_i - b_j$ $(*)$

 

Chọn k sao cho $b_{n+2}=3n$ và xét dãy số  $1\leq b_1< b_2 < ... < b_{n+2} = 3n $

Xét 2 trường hợp

TH1:  Nếu tồn tại j sao cho $n<b_j<2n$ thì ta có ngay $n<b_{n+2}-b_j <2n$

TH2: Nếu không có $b_j$ nào thuộc đoạn $[n+1; 2n-1]$ thì các số $b_1;...;b_{n+1}$ có mặt ở các cặp số : $(1,2n) ; (2,2n+1) ; ...; (n;3n-1)$

Do $n+1>n$ nên tồn tại 2 số $b_i$ và $b_j$ ( $j <i$ )thuộc cùng một cặp chẳng hạn cặp $( t ; 2n+t-1)$ hay $n<b_i-b_j=2n+t-1-t=2n-1<2n$

Như vậy ta hoàn toàn tìm được cặp $b_i; b_j$ thỏa mãn đề bài hay kéo theo cặp $(a_i;a_j)$ thỏa mãn






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh