$\left ( \frac{12}{5} \right )^{x}+\left ( \frac{15}{4} \right )^{x}+\left ( \frac{20}{3} \right )^{x}\geq 3^{x}+4^{x}+5^{x}$
$\left ( \frac{12}{5} \right )^{x}+\left ( \frac{15}{4} \right )^{x}+\left ( \frac{20}{3} \right )^{x}\geq 3^{x}+4^{x}+5^{x}$
#1
Đã gửi 05-02-2016 - 21:55
#2
Đã gửi 05-02-2016 - 22:13
Dùng bđt Cauchy ta có:$\left ( \frac{12}{5} \right )^{x}+\left ( \frac{15}{4} \right )^{x}+\left ( \frac{20}{3} \right )^{x}\geq 3^{x}+4^{x}+5^{x}$
$( \frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x\geqslant 2\sqrt{(\frac{12}{5})^x.(\frac{15}{4})^x}=2.3^x$
Cộng vế theo vế các bđt còn lại thì ta có:
$2[\left ( \frac{12}{5} \right )^{x}+\left ( \frac{15}{4} \right )^{x}+\left ( \frac{20}{3} \right )^{x}]\geqslant 2(3^{x}+4^{x}+5^{x})$
hay $\left ( \frac{12}{5} \right )^{x}+\left ( \frac{15}{4} \right )^{x}+\left ( \frac{20}{3} \right )^{x}\geqslant 3^{x}+4^{x}+5^{x}$ (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 05-02-2016 - 22:15
#3
Đã gửi 05-02-2016 - 22:22
$\left ( \frac{12}{5} \right )^{x}+\left ( \frac{15}{4} \right )^{x}+\left ( \frac{20}{3} \right )^{x}\geq 3^{x}+4^{x}+5^{x}$
Cái bài bất đẳng thức bé bé xinh xinh bạn ghi bên dưới thì mình làm nó như sau:
Ta có $\sqrt{\frac{a^{3}}{b^{3}}}+\sqrt{\frac{a^{3}}{b^{3}}}+1\geq 3\frac{a}{b}$
$\sqrt{\frac{b^{3}}{c^{3}}}+\sqrt{\frac{b^{3}}{c^{3}}}+1\geq 3\frac{b}{c}$
$\sqrt{\frac{c^{3}}{a^{3}}}+\sqrt{\frac{c^{3}}{a^{3}}}+1\geq 3\frac{c}{a}$
Cộng theo vế ta có
$2(\sqrt{\frac{a^{3}}{b^{3}}}+\sqrt{\frac{b^{3}}{c^{3}}}+\sqrt{\frac{c^{3}}{a^{3}}})+3\geq 3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+3$
Vậy $\sqrt{\frac{a^{3}}{b^{3}}}+\sqrt{\frac{b^{3}}{c^{3}}}+\sqrt{\frac{c^{3}}{a^{3}}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$
#4
Đã gửi 05-02-2016 - 22:41
Mở rộng
Cho $x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a},a,b,c$ đều dương
Khi đó với mọi $n \in \mathbb{N}$ thì
$x^{n+1}+y^{n+1}+z^{n+1} \ge x^n+y^n+z^n$
- Liquid Hiko và Liquid thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh