Chủ đề này có 1 trả lời

[phamhuy1801]

Cho $a,b,c,d$ dương thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Tìm $min_A$:

 

$A= \frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}$

 

Liệu có dùng được Cauchy ngược dấu không nhỉ?

[royal1534]

Cho $a,b,c,d$ dương thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Tìm $min_A$:

 

$A= \frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}$

 

Liệu có dùng được Cauchy ngược dấu không nhỉ?

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swarchz ta có:

$$A=\sum \frac{a^2}{a+ab^2c} \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{4+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b}=\frac{16}{4+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b} $$

Theo bđt AM-GM ta có: $$ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b=(ab+cd)(da+bc) \leq \frac{(ab+cd+da+bc)^2}{4}=\frac{[(b+d)(a+c)]^2}{4} \leq \frac{(b+d+a+c)^4}{64}=4$$

$$\Rightarrow A \geq \frac{16}{4+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b} \geq \frac{16}{4+4}=2$$

Vậy $MinA=2$.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$