Chủ đề này có 1 trả lời

[quynhquynh]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. CMR: \[\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}-a^{2}+3ab+6}}\leq 1\]

 

[royal1534]

 

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. CMR: \[\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}-a^{2}+3ab+6}}\leq 1\]

 

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swarchz ta có:

$P= \sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}-a^{2}+3ab+6}} \leq \sqrt{3\sum \frac{1}{a^{5}-a^{2}+3ab+6}}$

Theo bđt AM-GM ta được

$(a^{5}+a+1)+(a^{5}+a^{2}+1+1+1+1+1) \geq 3a^{2}+7a$

 $\Leftrightarrow$ $a^{5}-a^{2}+3ab+6 \geq 3(1+a+ab)$

Thiết lập 2 bđt tương tự và cộng lại ta có

$\sum \frac{1}{a^5-a^2+3ab+6} \leq \frac{1}{3}.\sum \frac{1}{1+a+ab}=\frac{1}{3}$ (Ta có đẳng thức $\sum \frac{1}{1+a+ab}=1$ với $abc=1$)

$\rightarrow P \leq \sqrt{3\sum \frac{1}{a^5-a^2+3ab+6}} \leq \sqrt{3.\frac{1}{3}}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 06-02-2016 - 16:58