Chủ đề này có 5 trả lời

[vietanhpbc]

Chứng minh: Không tồn tại hàm số $f(x)$ xác định trên tập số thực t/m : $f(f(x))=x^{2}-2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietanhpbc: 06-02-2016 - 09:56

[vietanhpbc]

Trên mục mình coppy nhầm nên mong mn thông cảm

[superpower]

Chứng minh: Không tồn tại hàm số $f(x)$ xác định trên tập số thực t/m : $f(f(x))=x^{2}-2$

Mình nghĩ là có hàm chớ bạn

Bạn được được về dãy số

$x_{n+2} = x_n ^2 -2 $

với $x_n= f(f(...f(x)...)) $ ( $n$ lần $f$) 

Với $x_0=0; x_1=f(x) $

Từ đó có được hàm $f(x)$ chớ bạn

[vietanhpbc]

Mình nghĩ là có hàm chớ bạn

Bạn được được về dãy số

$x_{n+2} = x_n ^2 -2 $

Bạn xem lại cho, theo mình thì đây là 1 bài toán khá hay cũng như đề đúng. Đặc biệt là bạn không thể đưa hàm số về dãy số như theo đề

[Ego]

Mình nghĩ bài này thích hợp ở topic phương trình hàm hơn. Đây là lời giải của mình. Để ý nếu $f(x) = f(y)$ thì $x^{2} = y^{2}$
Đặt $m = f(-1); \; n = f(2)$. Có
$\begin{cases} f(m) = f(f(-1)) = -1 \\ f(n) = f(f(2)) = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} m = f(-1) = f(f(m)) = m^{2} - 2 \\ n = f(2) = f(f(n)) = n^{2} - 2 \end{cases}$
Từ đó có các trường hợp sau:

1. Nếu $m = n = -1$ thì $f(f(2)) = f(n) = f(-1) = m = -1$, vô lí do $f(f(2)) = 2$
2. Nếu $m = n = 2$ thì $f(f(-1)) = f(m) = f(2) = n = 2$, vô lí do $f(f(-1)) = -1$
3. Nếu $m = -1; \; n = 2$, đặt $a = f(0)$, có $f(a) = -2 \implies f(-2) = a^{2} - 2 (*) \implies f(a^{2} - 2) = f(f(-2)) = 2 = f(2)$, từ nhận xét có được $4 = (a^{2} - 2)^{2}$ hay $a = 0$ hoặc $a = -2$ hoặc $a = 2$.
   - Nếu $a = f(0) = 0$ thì $f(0) = f(f(0)) = -2$, vô lí.
   - Nếu $a = f(0) = 2 = f(2)$ thì $0^{2} = 2^{2}$, vô lí.
   - Nếu $a = f(0) = -2$ thì từ $(*)$ có $f(-2) = a^{2} - 2 = 2$. Mà $f(0) = -2 \implies f(-2) = f(f(0)) = -2$. Mâu thuẫn.
4. Nếu $m = 2; \; n = -1$, đặt $a = f(0)$, tương tự như trên, ta có các khả năng sau:
   - Nếu $a = f(0) = -1 = f(2)$, do đó $4 = 0$, vô lí.
   - Nếu $a = f(0) = \sqrt{3} \implies f(\sqrt{3}) = f(f(0)) = - 1 \implies f(-1) = f(f(\sqrt{3})) = 1$, vô lí.
   - Nếu $a = f(0) = -\sqrt{3} \implies f(-\sqrt{3}) = f(f(0)) = -1 \implies f(-1) = f(f(-\sqrt{3})) = 1$, vô lí nốt.
   - Nếu $a = f(0) = 1$ thì $f(1) = f(f(0)) = -1 \implies f(-1) = f(f(1)) = -1$, vô lí.

Tóm lại, không có hàm số nào thỏa mãn :-)
Happy New Year VMF-ers, chúc mọi người năm mới đầy sức khỏe, vui vẻ và thành công :-P.
P.S: Lời giải trên bằng phép thế xấu xí quá, mong ai đó có lời giải đẹp hơn.

[nhungvienkimcuong]

Chứng minh: Không tồn tại hàm số $f(x)$ xác định trên tập số thực t/m : $f(f(x))=x^{2}-2$

xem ở đây