Chủ đề này có 3 trả lời

[luukhaiuy]

cho a,b,c>0 CMR:$\frac{b^2c^3}{a^2(b+c)^3}+\frac{c^2a^3}{b^2(c+a)^3}+\frac{a^2b^3}{c^2(a+b)^3}\geq \frac{9abc}{4(3abc+ab^2+bc^2+ca^2)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luukhaiuy: 06-02-2016 - 15:20

[quanguefa]

cho a,b,c>0 CMR:$\frac{b^2c^3}{a^2(b+c)^3}+\frac{c^2a^3}{b^2(c+a)^3}+\frac{a^2b^3}{c^2(a+b)^3}\geq \frac{9abc}{4(3abc+ab^2+bc^2+ca^2)}$

Đề bị nhầm 2 chỗ, mà cũng ko ảnh hưởng lắm...

Tình hình là giải chưa ra nhưng cũng có vài đánh giá quan trọng.

Đặt: $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$. Ta có: $xyz=1$

BĐT cần CM tương đương: $\sum \frac{1}{x^{2}(y+1)^{3}}\geq \frac{9}{4(x+y+z+3)}$

Tới đây có đánh giá Cauchy-Schwarz: $\sum \frac{1}{x^{2}(y+1)^{3}}=\sum \frac{(\frac{yz}{y+1})^{2}}{(y+1)}\geq \frac{(\sum \frac{yz}{y+1})^{2}}{x+y+z+3}$
Tới đây cần chứng minh: $\sum \frac{yz}{y+1}\geq \frac{3}{2}$

Đây là 1 BĐT đúng nhưng mà mình chưa chứng minh được, mong có bạn nào giúp giải tiếp.

[quoccuonglqd]

Theo như bài bạn ở trên,ta cần chứng minh thêm bất đẳng thức cuối đó

Đổi biến $(x,y,z)\rightarrow (\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})$

Bất đẳng thức trở thành $\sum \frac{bc}{a(b+c)} \geqslant \frac{3}{2}$

Áp dụng C-S $\sum \frac{bc}{a(b+c)}\geqslant \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2abc(a+b+c)}\geqslant \frac{3}{2}$

[quanguefa]

Theo như bài bạn ở trên,ta cần chứng minh thêm bất đẳng thức cuối đó

Đổi biến $(x,y,z)\rightarrow (\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})$

Bất đẳng thức trở thành $\sum \frac{bc}{a(b+c)} \geqslant \frac{3}{2}$

Áp dụng C-S $\sum \frac{bc}{a(b+c)}\geqslant \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2abc(a+b+c)}\geqslant \frac{3}{2}$

Cảm ơn bạn nhé!

Tức quá tới đó mà ko hoàn thiện được!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 06-02-2016 - 18:10