Chủ đề này có 1 trả lời

[halloffame]

Chứng minh rằng với mỗi số $n \in \mathbb{N}^{*}$ thì phương trình $x^{2n+1}=x+1$ có một nghiệm duy nhất, gọi là $x_{n}.$ Tính $\lim_{n \to + \infty } x_{n}.$

[dogsteven]

Đặt $f_n(x)=x^{2n+1}-x-1$

Nếu $-1\leqslant x\leqslant 0$ thì $x^{2n+1}\leqslant 0\leqslant x+1$ và dấu bằng không xảy ra nên phương trình không có nghiệm trên $[-1,0]$

Nếu $x\leqslant -1$ thì $x^{2n+1}-x=x\left(x^{2n}-1\right)\leqslant 0<1$ nên phương trình trên không có nghiệm trên $(-\infty, -1]$

Nếu $1\geqslant x\geqslant 0$ thì $x^{2n+1}\leqslant 1\leqslant x+1$ nên phương trình không có nghiệm trên $[0,1]$

Nếu $x>1$ thì $f_n'(x)=(2n+1)x^{2n}-1>0$ và $\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)=-1<0$ và $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty>0$ nên phương trình có một nghiệm $x_n>1$ duy nhất.

Ta có: $f_n(x_n)=0=f_{n+1}(x_{n+1})=x_{n+1}^{2n+3}-x_{n+1}-1>x_{n+1}^{2n+1}-x_{n+1}-1=f_n(x_{n+1})$

Kèm theo tính đồng biến của $f_n(x)$ cho ra $x_{n+1}<x_n$ với mọi $n\in\mathbb{N}^{*}$

Dãy $x_n$ giảm và bị chặn dưới bởi $1$ nên có giới hạn.

Theo định lý Lagrange thì tồn tại $t\in (1,x_n)$ sao cho $\dfrac{1}{x_n-1}=(2n+1)t^{2n}-1>(2n+1)-1=2n$ do đó $1<x_n<\dfrac{1}{2n}+1$

Sử dụng giới hạn kẹp cho ta $\lim x_n=1$