Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangngochai]

Cho x. y. z > 0. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{x}{z+3x}}+\sqrt{\frac{y}{x+3y}}+\sqrt{\frac{z}{y+3z}}\leq \frac{3}{2}$

[takarin1512]

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:

$P^2=\left ( \sum \sqrt{\frac{x}{z+3x}} \right )^2\leq 3\sum \frac{x}{z+3x}$

Ta có $\sum \frac{z}{z+2x}=\sum \frac{z^2}{z^2+2zx}\geq \frac{\left ( x+y+z \right )^2}{\sum x^2+2\sum xy}=1\Rightarrow \sum \frac{x}{z+2x}\leq 1$

Lại có $\frac{16}{27}P^2=\sum \frac{\frac{16}{9}x}{z+3x}\leq \sum \frac{\left ( 1+\frac{1}{3} \right )^2x}{z+3x}\leq \sum \left ( \frac{x}{z+2x}+\frac{\frac{1}{9}x}{x} \right )=\sum \frac{x}{z+2x}+\frac{1}{3}\leq \frac{4}{3}\Rightarrow P\leq \frac{3}{2}$

 

[royal1534]

Cho x. y. z > 0. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{x}{z+3x}}+\sqrt{\frac{y}{x+3y}}+\sqrt{\frac{z}{y+3z}}\leq \frac{3}{2}$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swarchz ta có $VT \leq \sqrt{3\sum \frac{x}{z+3x}}$

 

Ta cần chứng minh $\sum \frac{x}{z+3x} \leq \frac{3}{4}$

 

                            $\leftrightarrow \sum \frac{3x}{z+3x} \leq \frac{9}{4}$ 

 

                            $\leftrightarrow \sum(1-\frac{3x}{z+3x}) \geq \frac{3}{4}$

 

                            $\leftrightarrow \sum \frac{z}{z+3x} \geq \frac{3}{4}$

 

Sử dụng bđt Cauchy-Swarchz ta có:

$\sum \frac{z}{z+3x}=\sum \frac{z^2}{z^2+3xz} \geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+xy+yz+zx} \geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}}=\frac{3}{4}$

 

Bài toán được chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 06-02-2016 - 16:45