Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangngochai]

Tìm số nguyên tố p có dạng $p=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ với a; b; c là các số nguyên dương sao cho $a^{4}+b^{4}+c^{4}$ chia hết cho p

[Minhnguyenthe333]

Tìm số nguyên tố p có dạng $p=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ với a; b; c là các số nguyên dương sao cho $a^{4}+b^{4}+c^{4}$ chia hết cho p

 $a^{4}+b^{4}+c^{4}$ chia hết cho p$=>a^4+b^4+c^4=pk$
$<=>k(a^2+b^2+c^2)=a^4+b^4+c^4\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$
$<=>3k\geqslant a^2+b^2+c^2=p$
$p$ nguyên tố$=>k=1;p=3$

[takarin1512]

$a,b,c$ là các số nguyên dương cho nên $p\geq 3$

$a^2+b^2+c^2= p\Rightarrow \left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2\vdots p\Rightarrow 2\left ( a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \right )\vdots p$

mà $p>2\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \vdots p$$\left ( 1 \right )$

$a^2+b^2+c^2=p\Rightarrow a^4+a^2b^2+a^2c^2=a^2\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\vdots p\left ( 2 \right )$

$\left ( 1 \right )-\left ( 2 \right )\Rightarrow b^2c^2-a^4=\left ( bc-a^2 \right )\left ( bc+a^2 \right )\vdots p$

Vì $\begin{vmatrix} bc-a \end{vmatrix};bc+a^2< a^2+b^2+c^2=p$ cho nên trong hai số $bc-a^2;bc+a^2$ phải có một số bằng không $\Rightarrow bc-a^2=0\left ( bc+a^2>0 \right )\Rightarrow a^2=bc$

Làm tương tự ta được $b^2=ca; c^2=ab$$\Rightarrow a=b=c$$\Rightarrow p=3a^2$

Mà $p$ là số nguyên tố $\Rightarrow p=3;a=b=c=1$

[I Love MC]

 $a^{4}+b^{4}+c^{4}$ chia hết cho p$=>a^4+b^4+c^4=pk$
$<=>k(a^2+b^2+c^2)=a^4+b^4+c^4\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$
$<=>3k\geqslant a^2+b^2+c^2=p$
$p$ nguyên tố$=>k=1;p=3$