Cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc và AD= 3BC, phương trình đường chéo(BD): x + 2y -6 = 0. $\Delta ABD$ trực tâm H (-3;2). Tìm tọa độ C, D.
Gọi K là hình chiếu của H xuống BD
$\Rightarrow K (x_{K}; \frac{6 -x_{k}}{2})$
$\underset{HK}{\rightarrow}$ = ($(x_{K}+3;\frac{2-x_{K}}{2})$
Và vecto chỉ phương của BD là $\underset{a_{BD}}{\rightarrow}$=(-2;1)
Vì HK vuông góc với BD $\underset{HK}{\rightarrow}.\underset{a_{BD}}{\rightarrow}=0$
$\Leftrightarrow -2(x_{K}+3) + \frac{2-x_{K}}{2}=0$
$\Rightarrow x_{K}=-2$ $\Rightarrow K (-2;4)$
Từ K kẻ KM song song với BH cắt BC tại M
Ta có: BH song song với MK và BM=MC suy ra K là trung điểm HC
$\left\{\begin{matrix} x_{K}=\frac{x_{H}+ x_{C}}{2} & & \\ y_{K}=\frac{y_{H}+y_{C}}{2} & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow C(-1;6))$
$\cdot \Delta MKC$ vuông cân tại M$\Rightarrow Sin45=\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{MC}{KC}$
$\Rightarrow MC=\frac{\sqrt{2}}{2}KC=\frac{\sqrt{10}}{2}$
$\cdot \underset{KM}{\rightarrow}=(x_{M}+2;y_{M}-4)$
$\cdot \underset{CM}{\rightarrow}= (x_{M}+1;y_{M}-6)$
Mà KM = CM $\Rightarrow KM^{2}=CM^{2}$
$\Rightarrow (x_{M}+2)^{2}+(y_{M}-4)^{2}=(x_{M}+1)^{2}+(y_{M}-6)^{2}$
$\Leftrightarrow 2x_{M}+4y_{M}-17=0 (\Delta )$
Vì $M\in \Delta \Rightarrow M(x_{M};\frac{17-2x_{M}}{4})$
$\Rightarrow MC =\frac{\sqrt{10}}{2}$
$\Leftrightarrow (-1-x_{M})^{2}+(6-\frac{17-2x_{M}}{4})^{2}=\frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow 20x^{2}_{M}+60x_{M}+25=0 \Leftrightarrow x_{M}=\frac{-1}{2}$ hay $x_{M}=\frac{-5}{2}$
Tới đây, ta lại kẻ KN vuông góc AD
$\cdot \Delta AKD$ vuông cân tại K $\Rightarrow KN=\frac{1}{2}KD \Rightarrow 2KN=AD$
$\cdot \Delta MBC$ vuông cân tại K $\Rightarrow KM=\frac{1}{2}BC \Rightarrow 2KM=BC$
Mà AD= 3BC $\Rightarrow KN= 3KM$
$\cdot$ Với $x_{M}=\frac{-1}{2}\Rightarrow M(\frac{-1}{2};\frac{9}{2})$
Mà $\Rightarrow \underset{KN}{\rightarrow}=3\underset{MK}{\rightarrow}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{N}-x_{K}=3(x_{K}-x_{M}) & & \\ y_{N}-y_{K}=3(y_{K}-y_{M}) & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{N}=\frac{-13}{2} & & \\ y_{N}=\frac{5}{2} & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow N(\frac{-13}{2};\frac{5}{2})$
Lại có: $\underset{ND}{\rightarrow}=3\underset{MC}{\rightarrow}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{D}-x_{N}=3(x_{C}-x_{M}) & & \\ y_{D}-y_{N}=3(y_{C}-y_{M}) & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{D}=-8 & & \\ y_{D}=22 & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow D(-8;22)$
Tương tự với $x_{M}=\frac{-5}{2}$ cũng làm như trên rồi suy ra tọa độ của D
..............
Hông biết đúng không nữa, thấy sai sai sao sao á 
