Chủ đề này có 2 trả lời

[I Love MC]

Tìm tất cả số $n \in \mathbb{N}$ sao cho $3|(2^n-1)$ và tồn tại $m \in \mathbb{Z}$ sao cho 
$(4m^2+1) \vdots \frac{2^n-1}{3}$ 
Bài toán khai xuân box số học

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 08-02-2016 - 00:02

[dogsteven]

Dễ dàng có: $3\mid 2^n-1\Leftrightarrow 2\mid n$

Điều kiện cần:

Nếu tồn tại $q$ sao cho $2\nmid q$ và $q\mid n$ thì $3\nmid 2^q-1$ và $2^q-1\mid 4m^2+1$ nhưng $2^q-1$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$ vô lý.

Do đó $n=2^k$

Điều kiện đủ:

Nếu $n=2^k$ thì $2^{2^k}-1$ không có ước nguyên tố dạng $4k+3$ khác $3$ nên tồn tại $t$ sao cho $\dfrac{2^{2^k}-1}{3}\mid t^2+1$ nên ...

[I Love MC]

Dễ dàng có: $3\mid 2^n-1\Leftrightarrow 2\mid n$

Điều kiện cần:

Nếu tồn tại $q$ sao cho $2\nmid q$ và $q\mid n$ thì $3\nmid 2^q-1$ và $2^q-1\mid 4m^2+1$ nhưng $2^q-1$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$ vô lý.

Do đó $n=2^k$

Điều kiện đủ:

Nếu $n=2^k$ thì $2^{2^k}-1$ không có ước nguyên tố dạng $4k+3$ khác $3$ nên tồn tại $t$ sao cho $\dfrac{2^{2^k}-1}{3}\mid t^2+1$ nên ...

Cám ơn bác đã khai xuân cho diễn đàn  
Korea 1999
IMO Shorlist 1998