Chủ đề này có 3 trả lời

[nhungvienkimcuong]

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Cho $n$ là số nguyên dương.Chứng minh rằng

$\left \{ n\sqrt{2} \right \}>\frac{1}{2\sqrt{2}n}$

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Chứng minh rằng $\forall \varepsilon >0$ thì luôn $\exists n\in \mathbb{N}^*$ sao cho

$\left \{ n\sqrt{2} \right \}<\frac{1+\varepsilon }{2\sqrt{2}n}$

Spoiler

$\left \{ x \right \}=x-\left [ x \right ]$ là phần lẻ của $x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 08-02-2016 - 08:07

[hoanglong2k]

Bài 1. Chú ý là ta có $[n\sqrt2]\leq n\sqrt2$, mặt khác nếu $[n\sqrt2]=n\sqrt2\Leftrightarrow \sqrt2=\dfrac{[n\sqrt2]}{n}\in \mathbb{Q}$ nên vô lí. Vậy $[n\sqrt2]<n\sqrt2$

Tương đương với $[n\sqrt2]^2<2n^2$ hay $[n\sqrt2]^2+1\leq 2n^2\Leftrightarrow \left (n\sqrt2-[n\sqrt2]\right )\left (n\sqrt2+[n\sqrt2]\right )\geq 1\Leftrightarrow \{n\sqrt2\}\geq \dfrac{1}{\left (n\sqrt2+[n\sqrt2]\right )}>\dfrac{1}{2n\sqrt2}$

 Từ đó suy ra điều cần chứng minh

[hoanglong2k]

 Bài 2. Xét các số nguyên dương $n$ sao cho $2n^2-[n\sqrt2]^2=1$ ( luôn tìm được ), khi đó ta có $\{n\sqrt2\}=n\sqrt2-[n\sqrt2]=\dfrac{1}{n\sqrt2+[n\sqrt2]}$

Mà lại có $[n\sqrt2]>n\sqrt2-1\Rightarrow \dfrac{1}{n\sqrt2+[n\sqrt2]}<\dfrac{1}{2n\sqrt2-1}$

Nên ta chỉ cần chỉ ra tồn tại $n$ sao cho $\dfrac{1+\varepsilon}{2\sqrt2n}>\dfrac{1}{2n\sqrt2-1}\Leftrightarrow n>\dfrac{\varepsilon+1}{2\sqrt2\varepsilon}$

Cái trên có lẽ luôn có $n$ với mọi $\varepsilon >0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 08-02-2016 - 19:28

[nhungvienkimcuong]

 

 Bài 2. Xét các số nguyên dương $n$ sao cho $2n^2-[n\sqrt2]^2=1$ ( luôn tìm được ), khi đó ta có ${n\sqrt2}=n\sqrt2-[n\sqrt2]=\dfrac{1}{n\sqrt2+[n\sqrt2]}$

Mà lại có $[n\sqrt2]>n\sqrt2-1\Rightarrow \dfrac{1}{n\sqrt2+[n\sqrt2]}>\dfrac{1}{2n\sqrt2-1}$

Nên ta chỉ cần chỉ ra tồn tại $n$ sao cho $\dfrac{1+\varepsilon}{2\sqrt2n}>\dfrac{1}{2n\sqrt2-1}\Leftrightarrow n>\dfrac{\varepsilon+1}{2\sqrt2\varepsilon}$

Cái trên có lẽ luôn có $n$ với mọi $\varepsilon >0$

 

bổ sung tí cho hoàn thiện  

cái này nếu đặt $m=\left [ n\sqrt{2} \right ]$ thì ta sẽ có $n,m$ thuộc dãy sau

$\left\{\begin{matrix} n_1=1,n_2=5\\n_{k+2}=6n_{k+1}-n_k \end{matrix}\right.\wedge \left\{\begin{matrix} m_1=1,m_2=7\\m_{k+2}=6m_{k+1}-m_k \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 08-02-2016 - 19:07