Chủ đề này có 2 trả lời

[duong7cvl]

Tìm các số tự nhiên a,b sao cho $A=3^{9a^2+3b-86}+10$ là số nguyên tố

[superpower]

Tìm các số tự nhiên a,b sao cho $A=3^{9a^2+3b-86}+10$ là số nguyên tố

Bổ đề

Chứng minh: $3^{3n+1} + 10 \vdots 13 $

Với $n=0,1$ đúng

Giả sử đúng với $n=k$, ta chứng minh đúng với $n=k+1 $

Ta có $3^{3k+4} +10 = 27.3^{3k+1} +10=26.3^{3k+1}  + 3^{3k+1} +10  \vdots 13 $

Do đó $3^{3n+1} +10 \vdots 13 $

Ta có $9a^2 + 3b -86 \equiv 1 $ (mod 3 ) 

Do đó  $A \vdots 13 $

A nguyên tố $<=> A=13 <=> 9a^2 +3b -86 =1 <=> 3a^2 + b=29  => a \leq 3 <=> -3 \leq a \leq 3 $

Từ đó tìm ra $b$ xong thử vô coi thỏa không là xong 

[thaibuithd2001]

Bổ đề

Chứng minh: $3^{3n+1} + 10 \vdots 13 $

Với $n=0,1$ đúng

Giả sử đúng với $n=k$, ta chứng minh đúng với $n=k+1 $

Ta có $3^{3k+4} +10 = 27.3^{3k+1} +10=26.3^{3k+1}  + 3^{3k+1} +10  \vdots 13 $

Do đó $3^{3n+1} +10 \vdots 13 $

Ta có $9a^2 + 3b -86 \equiv 1 $ (mod 3 ) 

Do đó  $A \vdots 13 $

A nguyên tố $<=> A=13 <=> 9a^2 +3b -86 =1 <=> 3a^2 + b=29  => a \leq 3 <=> -3 \leq a \leq 3 $

Từ đó tìm ra $b$ xong thử vô coi thỏa không là xong 

Một cách khác,cũng hơi giống cách này một chút ít 

Bổ đề: Với $a;b$ $\epsilon$ $N$ , $b$ $\neq$ $0$  

             Nếu $a \equiv b$ ($mod$ $2b$) thì $a \equiv 0$ ($mod$ $b$)

Quay lại bài toán 

Ta có: $3^{9a^2+3b-86} \equiv$ 1,3,9 ($mod$ $26$)

         do đó $A=3^{9a^2+3b-86}+10$ $\equiv$ $11,13,19$ ($mod$ $26$)

    đặt $k=9a^2+3b-86$ dễ thấy $k \equiv 1$ ($mod$ $3$)

TH₁: $A \equiv 11$ ($mod$ $26$) => $3^k-1$ $\equiv$ $0$ (mod 26) => $k$ chia hết cho $3$ (vô lý)

TH₂: $A \equiv 19$ ($mod$ $26$) => $3^k-9$ $\equiv$ $0$ (mod 26) 

        Mà $3^k-9=9(3^{k-2}-1)$ 

              $gcd(9;26)=1$

          nên $3^{k-2}-1$ $\equiv$ $0$ (mod 26) ,từ đây theo TH₁ ta suy ra được $k-2$ chia hết cho $3$ => $k \equiv 2$ (mod 3) (vô lý) 

TH₃:$A \equiv 13$ ($mod$ $26$) thì từ bổ đề suy ra được $A \vdots 13$ => $A=13$ => $3^{9a^2+3b-86}=3$ => $9a^2+3b=87$ đây là phương trình nghiệm nguyên với $a,b$ là các số tự nhiên nên dễ kiếm nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 08-02-2016 - 15:38