x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x≥y≥z và x+y+z=3
Min P= $\frac{x}{z}$ + $\frac{z}{y}$ + 3y
x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x≥y≥z và x+y+z=3
Bắt đầu bởi anomynous98, 08-02-2016 - 16:31
#2
Đã gửi 09-02-2016 - 15:04
Nguyenhuyen_AG
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 945 Bài viết
Trung úy
x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x≥y≥z và x+y+z=3
Min P= $\frac{x}{z}$ + $\frac{z}{y}$ + 3y
Ta thấy nếu $x=y=z=1$ thì $P= 5$ như vậy nếu ta chứng minh được $P \geqslant 5$ thì đây cũng chính là giá trị nhỏ nhất của bài toán.
Viết $P$ lại dưới dạng thuần nhất như sau
\[P=\frac{x}{z}+ \frac{z}{y}+\frac{9y}{x+y+z}.\]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
\[P \geqslant \frac{(x+z+3y)^2}{zx+yz+y(x+y+z)}.\]
Ta cần chứng minh
\[(x+z+3y)^2 \geqslant 5[zx+yz+y(x+y+z)]. \quad (1)\]
Do $x \geqslant y \geqslant z$ nên tồn tại hai số thực không âm $a,\,b$ sao cho $x = a + z,\,y = b+z.$ Thay các giá trị này vào (1) và thu gọn lại ta được
\[a^2+ab+4b^2+5bz \geqslant 0.\]
Hiển nhiên đúng, như vậy $P = 5$ là giá trị nhỏ nhất cần tìm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 09-02-2016 - 15:04
- tpdtthltvp và anomynous98 thích
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport
Ho Chi Minh City University Of Transport
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
