Chủ đề này có 2 trả lời

[I Love MC]

Lại một bài số nguyên tố nữa  
Tìm $p,q \in \mathbb{P}$ để $(p-q)^3=p+q$

[PlanBbyFESN]

Lại một bài số nguyên tố nữa  
Tìm $p,q \in \mathbb{P}$ để $(p-q)^3=p+q$

 

Ta có bổ đề sau: $a^{3}\equiv a(mod3)\Leftrightarrow a(a-1)(a+1)\vdots 3$

 

$\Rightarrow (p-q)^{3}\equiv p-q(mod3)\Rightarrow p+q\equiv p-q (mod3)\Rightarrow 2q\vdots 3\rightarrow q\vdots 3$

 

Mà p,q nguyên tố....................

[I Love MC]

Ta có bổ đề sau: $a^{3}\equiv a(mod3)\Leftrightarrow a(a-1)(a+1)\vdots 3$

 

$\Rightarrow (p-q)^{3}\equiv p-q(mod3)\Rightarrow p+q\equiv p-q (mod3)\Rightarrow 2q\vdots 3\rightarrow q\vdots 3$

 

Mà p,q nguyên tố....................

Cám ơn bạn đã đóng góp lời giải : 
Another solution : 
$p-q \equiv 2p \pmod{p+q}$ 
$\Rightarrow  (p-q)^3 \equiv 8p^3 \pmod{p+q}$ 
$\Rightarrow p+q \equiv 8p^3 \pmod{p+q}$ 
Suy ra $8p^3 \vdots (p+q)$ 
Từ đề cho ta thấy $(p,q)=1$ nên $(p^3,p+q)=1$ 
Suy ra $(p+q) \in$ {$4;8$} 
Từ đó ta chọn $(p,q)=(5,3)$