Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\frac{a}{b^2+bc+c^2}+\frac{b}{c^2+ca+a^2}+\frac{c}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
happyfree

happyfree

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

1.Cho các số thực ko âm thỏa mãn $ab+bc+ca>0$

CMR: $\frac{a}{b^2+bc+c^2}+\frac{b}{c^2+ca+a^2}+\frac{c}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$

2.Cho $a,b,c$ là các số thực dương

CMR: $\frac{a}{a^2+ab+b^2}+\frac{b}{b^2+bc+c^2}+\frac{c}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2}$

3.Cho $a,b,c$ là các số thực dương

CMR: $\frac{a}{a^2+2bc}+\frac{b}{b^2+2ca}+\frac{c}{c^2+2ab}\leq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 09-02-2016 - 10:51


#2
thichmontoan

thichmontoan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
Bđt câu 2 làm trên tử xuất hiện $a^2$ , $b^2$, $c^2$ xong schwarz

#3
ngtrungkien019a

ngtrungkien019a

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết

rồi schwarz mẫu nó thành bậc 3 bạn...làm sao nữa


                     Đôi lúc bạn đối mặt với khó khăn không phải vì bạn làm điều gì đó sai mà bởi vì bạn đang đi đúng hướng.
 
 
                      
                                                           WELCOM TO My facebook


#4
leanh9adst

leanh9adst

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Lời giải:

Câu 1:

VT = $\sum \frac{a^2}{a(b^2+bc+c^2)}$ $\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a(b^2+bc+c^2)}$ $\doteq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\doteq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$

suy ra đpcm


Mặt trời mọc rồi lặn,mặt trăng tròn rồi lại khuyết nhưng ánh sáng mà người thầy rọi vào ta sẽ còn mãi trong cuộc đời!


#5
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
3.Cho $a,b,c$ là các số thực dương

CMR: $\frac{a}{a^2+2bc}+\frac{b}{b^2+2ca}+\frac{c}{c^2+2ab}\leq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$

 

Giả sử $c = \min\{a,\,b,\,c\}$ khi đó bằng cách sử dụng đẳng thức

\[\frac{a}{ab+bc+ca} - \frac{a}{a^2+2bc} = \frac{a(a-b)(a-c)}{(ab+bc+ca)(a^2+2bc)},\]

ta có thể viết bất đẳng thức trên lại như sau

\[\frac{a(a-b)(a-c)}{a^2+2bc} + \frac{b(b-c)(b-a)}{b^2+2ca} + \frac{c(c-a)(c-b)}{c^2+2ab} \geqslant 0.\]

Chú ý rằng $\frac{c(c-a)(c-b)}{c^2+2ab} \geqslant 0,$ nên ta chỉ cần chứng minh

\[\frac{a(a-b)(a-c)}{a^2+2bc} + \frac{b(b-c)(b-a)}{b^2+2ca} \geqslant 0,\]

tương đương với

\[\frac{c(a-b)^2[3ab+2a(a-c)+2b(b-c)]}{(a^2+2bc)(b^2+2ca)}\geqslant 0.\]

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết của $c.$ Ta có điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 09-02-2016 - 22:00

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh