Chủ đề này có 2 trả lời

[RealCielo]

1,Cho a,b,c là 3 số thực dương và ab+bc+ca=abc.Chứng minh rằng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RealCielo: 12-02-2016 - 19:48

[leanh9adst]

Bài 1:

Vì ab+bc+ca=abc nên  $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$+ $\frac{1}{c}$=1

Chia cả 2 vế của BĐT cần chứng minh cho $\sqrt{abc}$ ta được:

$\sqrt{\frac{1}{bc}+\frac{1}{a}}$ + $\sqrt{\frac{1}{ca}+\frac{1}{b}} + \sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{c}}$ $\geq 1 + \sqrt{\frac{1}{bc}} + \sqrt{\frac{1}{ca}}+\sqrt{\frac{1}{ab}}$ (1)

Đặt $\frac{1}{a} =x ; \frac{1}{b}=y;\frac{1}{c} =z$ thì x+y+z=1

(1) $\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy} \geq x+y+z + \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

Ta sẽ chứng minh: $\sqrt{x+yz} \geq x+\sqrt{yz}$

Vì x+y+z=1 nên x+yz = x(x+y+z)+yz=(x+y)(x+z) $\geq (x+\sqrt{yz})^{2}$

suy ra $\sqrt{x+yz}\geq x + \sqrt{yz}$

Chứng minh tương tự, cộng 3 vế suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leanh9adst: 09-02-2016 - 11:06

[NTA1907]

2,Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c=1

$\frac{1}{a^2(1+a)}+\frac{1}{b^2(1+b)}+\frac{1}{c^2(1+c)}\geq \frac{3}{4abc}$

Nhân 2 vế của bđt với $abc$ thì bđt cần chứng minh trở thành:

$\frac{bc}{a(1+a)}+\frac{ca}{b(1+b)}+\frac{ab}{c(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

Đặt $a=\frac{1}{x}, b=\frac{1}{y}, c=\frac{1}{z}$

$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 \Leftrightarrow xy+yz+zx=xyz$

Khi đó ta có:

$\sum \frac{x^{2}}{yz(x+1)}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3xyz+xy+yz+zx}\geq \frac{3(xy+yz+zx)}{4(xy+yz+zx)}=\frac{3}{4}$(đpcm)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=3\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$