Chủ đề này có 8 trả lời

[luukhaiuy]

1,tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số sao cho tổng bình phương của số này là 1 số mà hai chữ số tận cùng của nó là 96

2,chờ a,b là các số nguyên dương,a khác b thỏa mãn $ab(a+b) \vdots a^2+ab+b^2$

CMR $\left | a-b \right |\geq \sqrt[3]{ab}$

3,tìm tất cả các bộ số tự nhiên (a1,a2,..a2014) thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a1+a2+..+a2014\geq 2014^2 & & \\ a1^2+a2^2+...+a2014^2\leq 2014^3+1& & \end{matrix}\right.$

4,cho h,s,g ,m là các chữ số thỏa mãn $\overline{hs}.\overline{gs}=\overline{mmm}$

[I Love MC]

Câu $4$ có yêu cầu $h,s,g,m$ khác nhau đôi một ?

[I Love MC]

Câu $1$ là tổng bình phương các chữ số ?

[luukhaiuy]

Câu $4$ có yêu cầu $h,s,g,m$ khác nhau đôi một ?

khong

[I Love MC]

khong

Câu $4$ hướng dẫn là xảy ra tại $s=0,1,5,6$ nhé

[I Love MC]

Bài 3

[I Love MC]

2) Đặt $(a,b)=k$ khi đó $a=kx,b=ky$ trong đó $x,y \in \mathbb{Z^+}$ và $gcd(x,y)=1$
$\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}=\frac{k^2xy.k(x+y)}{k^2(x^2+y^2+xy)}=\frac{kxy(x+y)}{x^2+y^2+xy} \in \mathbb{Z}$ 
Vì $gcd(x,x^2+y^2+xy)=gcd(y,x^2+y^2+xy)=1$ và $gcd(x+y,y)=1$ 
Suy ra $gcd(x^2+y^2+xy,x+y)=1$ 
Từ đó suy ra $k \vdots (x^2+y^2+xy)$ nên $k \ge x^2+y^2+xy$ 
Không giảm tính tổng quát giả sử $a>b$ 
Lúc đó $(a-b)^3=k^3(a-b)^3 \ge k^3=k^2.k \ge (x^2+y^2+xy).k^2 \ge k^2xy=ab$ (đpcm)

[I Love MC]

Cách khác : đơn giản hơn 
Từ giả thiết $\Rightarrow ab(a+b) \ge a^2+b^2+ab$ 
$\Rightarrow ab(a^2-b^2) \ge a^3-b^3$ 
$\Rightarrow ab(b^2-a^2+3a-3b) \le (b-a)^3$ 
Giả sử $b>a$ 
$b-a \ge \sqrt[3]{ab(b^2-a^2+3a-3b)}=\sqrt[3]{ab(b-a)(a+b-3)}$  
Vì $a \ne b$ nên $b+a>1+2=3$ suy ra $b-a>\sqrt[3]{ab}$
 

[I Love MC]

All Russian Olympiad 2001