Chủ đề này có 4 trả lời

[phamngochung9a]

Cho $x,y,z$ là những số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\left ( \frac{2x-y}{x-y} \right )^{2}+\left ( \frac{2y-z}{y-z} \right )^{2}+\left ( \frac{2z-x}{z-x} \right )^{2}$

 

 

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $x,y,z$ là những số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\left ( \frac{2x-y}{x-y} \right )^{2}+\left ( \frac{2y-z}{y-z} \right )^{2}+\left ( \frac{2z-x}{z-x} \right )^{2}$

Đặt: $\frac{2x-y}{x-y}=a;\frac{2y-z}{y-z}=b;\frac{2z-x}{z-x}=c$

Ta có:$\frac{x+y}{x-y}=2a-3;\frac{y+z}{y-z}=2b-3;\frac{z+x}{z-x}=2c-3$

Do đó $\sum(2a-3)(2b-3)=-1$

$<=>4(ab+bc+ca)-12(a+b+c)+27=-1<=>(a+b+c)^2-6(a+b+c)^2+14=(a^2+b^2+c^2)$

Suy ra $a^2+b^2+c^2=(a+b+c-3)^2+5\geq 5$

Dấu bằng xảy ra $<=>a+b+c=3<=>\frac{x}{x-y}+\frac{y}{y-z}+\frac{z}{z-x}=0$

(Ngang đây chắc sẽ tìm ra bộ số (x,y,z) nào đó thỏa mãn, việc này nhường cho bạn )

Spoiler

Happy lunar new year

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 09-02-2016 - 23:02

[Minhnguyenthe333]

Đặt: $\frac{2x-y}{x-y}=a;\frac{2y-z}{y-z}=b;\frac{2z-x}{z-x}=c$
Ta có:$\frac{x+y}{x-y}=2a-3;\frac{y+z}{y-z}=2b-3;\frac{z+x}{z-x}=2c-3$
Do đó $\sum(2a-3)(2b-3)=-1$
$<=>4(ab+bc+ca)-12(a+b+c)+27=-1<=>(a+b+c)^2-6(a+b+c)^2+14=(a^2+b^2+c^2)$
Suy ra $a^2+b^2+c^2=(a+b+c-3)^2+5\geq 5$
Dấu bằng xảy ra $<=>a+b+c=3<=>\frac{x}{x-y}+\frac{y}{y-z}+\frac{z}{z-x}=0$
(Ngang đây chắc sẽ tìm ra bộ số (x,y,z) nào đó thỏa mãn, việc này nhường cho bạn )

Spoiler

Happy lunar new year

Giống cách của em http://diendantoanho...án-chuyên-khtn/

[Hoang Nhat Tuan]

Giống cách của em http://diendantoanho...án-chuyên-khtn/

Thực ra bài này có thể tổng quát lên thành tìm min của $\sum (\frac{kx-y}{x-y})^2$ với số thực $k$ bất kì nhé  

[Nguyenhuyen_AG]

Thực ra bài này có thể tổng quát lên thành tìm min của $\sum (\frac{kx-y}{x-y})^2$ với số thực $k$ bất kì nhé

 

Ta có bất đẳng thức sau

\[\left(\frac{x-ky}{x-y}\right)^2+\left(\frac{y-kz}{y-z}\right)^2+\left(\frac{z-kx}{z-x}\right)^2 \geqslant k^2+1,\]

và điều này được suy ra từ đẳng thức

\[\sum \left(\frac{x-ky}{x-y}\right)^2  = k^2+1+\left (\sum \frac{x-ky}{x-y}-k-1 \right )^2.\]