Chủ đề này có 5 trả lời

[huuhieuht]

Cho a,b,c>0.CMR

     

$\sum \frac{1}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{21}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+5(ab+bc+ca)}$

  p/s: Mong ae có 1 lời giải đẹp cho bài toán

[binhnhaukhong]

Cho a,b,c>0.CMR

     

$\sum \frac{1}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{21}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+5(ab+bc+ca)}$

  p/s: Mong ae có 1 lời giải đẹp cho bài toán

Có 2 cách cho bài này, 1 là C-S, thứ 2 là dồn biến, không đẹp lắm:

 

$$\sum \frac{1}{b^2+bc+c^2}=\sum \frac{(5a+b+c)^2}{(5a+b+c)^2(b^2+bc+c^2)}\geq \frac{49(a+b+c)^2}{\sum (5a+b+c)^2(b^2+bc+c^2)}$$

 

Bây giờ phải chỉ ra: 

 

$$\frac{49(a+b+c)^2}{\sum (5a+b+c)^2(b^2+bc+c^2)}\geq \frac{21}{2(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ac)}$$

 

BĐT này đúng.Dùng Schur để chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 10-02-2016 - 20:53

[longatk08]

Bài tương tự: Cho $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ac+a^2}\geq \frac{7(a+b+c)}{3(a+b)(b+c)(c+a)}$$

[Nguyenhuyen_AG]

Bài tương tự: Cho $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ac+a^2}\geq \frac{7(a+b+c)}{3(a+b)(b+c)(c+a)}$$

 

Anh có một lời giải bằng $pqr$ nhưng vì là $pqr$ nên nó không được đẹp lắm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 10-02-2016 - 14:19

[Nguyenhuyen_AG]

Bây giờ phải chỉ ra: 

 

$$\frac{49(a+b+c)^2}{\sum (5a+b+c)^2(a^2+ab+b^2)}\geq \frac{21}{2(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ac)}$$

 

BĐT này đúng.Dùng Schur để chứng minh.

 

Bất đẳng thức này sai với $a=1,\,b=2,\,c=1.$

[binhnhaukhong]

Bất đẳng thức này sai với $a=1,\,b=2,\,c=1.$

Anh ơi em gõ nhầm đấy anh ạ, chả ai nhìn ra :3.Giờ thì ổn rồi ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 10-02-2016 - 20:50