Chủ đề này có 4 trả lời

[duong7cvl]

Tìm các số nguyên x,y không nhỏ hơn 2 thỏa mãn xy-1 chia hết cho (x-1)(y-1)

[12345678987654321123456789]

$\left\{\begin{matrix} xy-1=x(y-1)+x-1\vdots (x-1)\\ xy-1=y(x-1)+y-1\vdots (y-1) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(y-1)\vdots x-1\\ y(x-1)\vdots y-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y-1 \vdots x-1\\ x-1 \vdots y-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x-1=y-1\Leftrightarrow x=y$

Thay vào ta được $x^2-1\vdots (x-1)^2\Leftrightarrow (x-1)(x+1)\vdots(x-1)^2\Leftrightarrow x+1\vdots x-1$

Đặt $x+1=k(x-1)$ ta có $(x-1)(k-1)=2$

Đến đây dễ rồi

[I Love MC]

Cách khác : 
Đặt $x=a+1,y=b+1,(a,b \in \mathbb{Z},a,b \ge 1)$ 
Khi đó $ab|(a+1)(b+1)-1$ 
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \in \mathbb{Z}$ ta ko lạ gì bài toán này nữa nên tự giải.

[I Love MC]

Mở rộng IMO 1992 
Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa $1<a<b<c$ sao cho  
$(a-1)(b-1)(c-1)|(abc-1)$

[I Love MC]

Mở rộng hơn tìm $a,b,c$ nguyên dương sao cho 
$(ab-1)(bc-1)(ac-1) \vdots abc$ 
Giả sử $a \ge b \ge c \ge 1$  
Từ giả thiết ta suy ra $abc|(ab-1)(bc-1)(ac-1) $ 
Nên $xyz|xy+yz+xz-1$ 
Ta có $xyz \le xy+yz+xz-1<xy+yz+xz<xy+xy+xy=3xy$  
Suy ra $3>z$ 
Xét $z=2$ thì ta có $2xy|xy+2x+2y-1$ 
Suy ra $xy<2x+2y<4x$ suy ra $y \in {2,3}$ 
Xét $y=2,y=3$ ta ra được $x=5$ 
Một bài toán tương tự : 
British MO 2003 : Tìm tất cả các số nguyên tố $x,y,z$ sao cho 
$x|yz-1,y|xz-1,z|xy-1$