Chủ đề này có 2 trả lời

[Junkkien]

1/Cho x+y+z+1, x,y,z>0.CMR:

$(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})\geq 64$

 

2/Cho a+b+c= abc, a, b, c >0. CMR:

$\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Junkkien: 10-02-2016 - 10:34

[12345678987654321123456789]

Đọc kĩ ở đây

 

1/Cho x+y+z+1, x,y,z>0.CMR:

$(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})\geq 64$

Biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức AM-GM

$\prod \left (1+\frac{1}{x} \right )=\prod \frac{x+1}{x}=\prod \frac{x+x+y+z}{x}\geq \prod \frac{4\sqrt[4]{x^2yz}}{x}=\frac{64\sqrt[4]{x^4y^4z^4}}{xyz}=64$

[Math Master]

 

2/Cho a+b+c= abc, a, b, c >0. CMR:

$\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq 1$ (*)

Từ $a+b+c = abc => \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} = 1$

$VT \geq \frac{9}{ab+bc+ca} => ab+bc+ca \geq 9$

$=> 9 \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} => 27 \leq (a+b+c)^2 = (abc)^2 (1)$

Theo $AM-GM $

$a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} => \frac{abc}{3} \geq \sqrt[3]{abc} => \frac{(abc)^2}{9} \geq \sqrt[3]{(abc)^2} (2)$

Từ (*) Theo AM-GM

$VT \geq \frac{3}{\sqrt[3]{(abc)^2}}$

Từ $(2) => VT \geq \frac{27}{(abc)^2}$

Từ $(1) => VT \geq 1$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c  => 3a = a^3$

<=> $a(a^2-3) = 0$ => a=\sqrt{3}=b=c 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Master: 10-02-2016 - 16:11