1/Cho x+y+z+1, x,y,z>0.CMR:
$(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})\geq 64$
2/Cho a+b+c= abc, a, b, c >0. CMR:
$\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Junkkien: 10-02-2016 - 10:34
1/Cho x+y+z+1, x,y,z>0.CMR:
$(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})\geq 64$
2/Cho a+b+c= abc, a, b, c >0. CMR:
$\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Junkkien: 10-02-2016 - 10:34
1/Cho x+y+z+1, x,y,z>0.CMR:
$(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})\geq 64$
Biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức AM-GM
$\prod \left (1+\frac{1}{x} \right )=\prod \frac{x+1}{x}=\prod \frac{x+x+y+z}{x}\geq \prod \frac{4\sqrt[4]{x^2yz}}{x}=\frac{64\sqrt[4]{x^4y^4z^4}}{xyz}=64$
Even when you had two eyes, you'd see only half the picture.
2/Cho a+b+c= abc, a, b, c >0. CMR:
$\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq 1$ (*)
Từ $a+b+c = abc => \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} = 1$
$VT \geq \frac{9}{ab+bc+ca} => ab+bc+ca \geq 9$
$=> 9 \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} => 27 \leq (a+b+c)^2 = (abc)^2 (1)$
Theo $AM-GM $
$a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} => \frac{abc}{3} \geq \sqrt[3]{abc} => \frac{(abc)^2}{9} \geq \sqrt[3]{(abc)^2} (2)$
Từ (*) Theo AM-GM
$VT \geq \frac{3}{\sqrt[3]{(abc)^2}}$
Từ $(2) => VT \geq \frac{27}{(abc)^2}$
Từ $(1) => VT \geq 1$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c => 3a = a^3$
<=> $a(a^2-3) = 0$ => a=\sqrt{3}=b=c
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Master: 10-02-2016 - 16:11
~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~
Imagination is more important than knowledge.
-Einstein-
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh