Chủ đề này có 3 trả lời

[I Love MC]

ITALY TST 1999 đã giải tại đây 
Mở rộng : Cho $p \in \mathbb{P}$. Tìm $a,b,c \in \mathbb{N}$ và $a,b,c \ge 1$ thỏa mãn 
$a^p+b^p=p^c$

[Chris yang]

ITALY TST 1999 đã giải tại đây 
Mở rộng : Cho $p \in \mathbb{P}$. Tìm $a,b,c \in \mathbb{N}$ và $a,b,c \ge 1$ thỏa mãn 
$a^p+b^p=p^c$

 Đặt $a=p^x.m,b=p^y.n$ trong đó $(m,p)=(n,p)=1$. G/s $x\geq y\geq 0$

PT trở thành $p^{py}\left (p^{px-py}m^p+n^p \right )=p^c$. Nếu $x>y$ thì từ PT ta có $p|p^{px-py}m^p+n^p \Rightarrow p|n$ ( vô lý). Do đó $x=y$

Ta có $m^p+n^p=p^{c-px}$

+)TH1 $p=2$, do $m^2+n^2\equiv 2\pmod 4$ nên $c-xy=c-2x=1\Rightarrow m=n=1$.

Bộ $(a,b,c,p)=(2^x,2^x,2x+1,2)$ với $x\in\mathbb{N}$

 

+)TH2 $p$ lẻ $\Rightarrow p|m+n$. Áp dụng bổ đề LTE có $v_p(m^p+n^p)=v_p(m+n)+1=c-px\Rightarrow$ đặt $m+n=p^{c-px-1}$

Theo AM-GM $p^{c-px}=m^p+n^p\geq \frac{(m+n)^p}{2^{p-1}}=\frac{p^{p(c-px-1)}}{2^{p-1}}\Rightarrow 2^{p-1}\geq p^{(c-px)(p-1)-p}$

Nếu $c-px\geq 3$ thì rõ ràng vô lý, nên $c-px<3$, kết hợp $c-px>1\rightarrow c-px=2$. Suy ra $2^{p-1}\geq p^{p-2}$. Nếu $p\geq 5$ thì $p^{p-2}>2^{2p-4}\geq 2^{p-1}$ nên $p=3$. Thay vào ta thu được $m+n=3\rightarrow (m,n)=(1,2)$.

Bộ $(a,b,c,p)=(2.3^x,3^x,3x+2,3)$ với $x\in\mathbb{N}$

 

-----------------------------------------------------------------------

P.s: Bài này do em mở rộng à? Hay có nguồn

[I Love MC]

 Đặt $a=p^x.m,b=p^y.n$ trong đó $(m,p)=(n,p)=1$. G/s $x\geq y\geq 0$

PT trở thành $p^{py}\left (p^{px-py}m^p+n^p \right )=p^c$. Nếu $x>y$ thì từ PT ta có $p|p^{px-py}m^p+n^p \Rightarrow p|n$ ( vô lý). Do đó $x=y$

Ta có $m^p+n^p=p^{c-px}$

+)TH1 $p=2$, do $m^2+n^2\equiv 2\pmod 4$ nên $c-xy=c-2x=1\Rightarrow m=n=1$.

Bộ $(a,b,c,p)=(2^x,2^x,2x+1,2)$ với $x\in\mathbb{N}$

 

 

Em chỉ ghi là mở rộng thôi mà  
France TST 2012 
Ko còn cách nào ngoài LTE nữa hả chị ?

[Chris yang]

Em chỉ ghi là mở rộng thôi mà  
France TST 2012 
Ko còn cách nào ngoài LTE nữa hả chị ?

Thực ra cũng k cần LTE, nhưng phức tạp hơn

Mục đích là CM $p||m^{p-1}-m^{p-2}n+......+n^{p-1}$

Có $m\equiv -n\pmod p$ thì đặt $m=pk-n$

Xét $m^in^{p-1-i}=(pk-n)^in^{p-1-i}\equiv [(-n)^i+ipk(-n)^{i-1}]n^{p-1-i}\pmod {p^2}$

$\Rightarrow m^{p-1}-m^{p-2}n+....+n^{p-1}\equiv pn^{p-1}-pkn^{p-2}(1+2+...+p-1)=pn^{p-1}-p^2kn^{p-2}\frac{p-1}{2}\equiv pn^{p-1}\not\equiv 0\pmod {p^2}$