Chủ đề này có 3 trả lời

[IHateMath]

Tìm tất cả $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(f(x))=f(x)+x$.

[superpower]

Tìm tất cả $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(f(x))=f(x)+x$.

Đặt $x_n= f(f(..(f(x))..)) $

Ta dễ có $x_{n+2} = x_{n+1} +x_{n} $

Suy ra $x_n = c_1.(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n + c_2.(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$

Mặt khác, ta có $x_0=0 ; x_1=f(x) $

Từ đó tìm được $f(x)$ bằng cách tìm mối quan hệ giữa $c_1, c_2 $ và thay vào

Lưu ý, ta sẽ được 2 hàm khi thay lần lượt $c_1, c_2 $

[IHateMath]

Đặt $x_n= f(f(..(f(x))..)) $

Ta dễ có $x_{n+2} = x_{n+1} +x_{n} $

Suy ra $x_n = c_1.(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n + c_2.(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$

Mặt khác, ta có $x_0=0 ; x_1=f(x) $

Từ đó tìm được $f(x)$ bằng cách tìm mối quan hệ giữa $c_1, c_2 $ và thay vào

Lưu ý, ta sẽ được 2 hàm khi thay lần lượt $c_1, c_2 $

Chỗ này mình ko hiểu. Theo cách đặt thì ta có $x_0=x_2-x_1=f(f(x))-f(x)=x$ chứ! Khi đó sẽ có vô số $c_1, c_2$ thỏa mãn

[superpower]

Chỗ này mình ko hiểu. Theo cách đặt thì ta có $x_0=x_2-x_1=f(f(x))-f(x)=x$ chứ! Khi đó sẽ có vô số $c_1, c_2$ thỏa mãn

Ừ. Đoạn đó mình nhầm :v. $0$ lần $f$ nên còn là $x$

Đúng là có vô số $c_1, c_2 $ thỏa mãn

Nhưng khi bạn thay vào, rút $c_1$ bằng $c_2$, bạn tính $f(x) = x_1 $ Bạn xem $c_1$ là hằng số thôi

Tương tự rút $c_2$ bằng $c_1$