Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn $P(x^2)=[P(x)]^2$
#1
Đã gửi 11-02-2016 - 10:44
Namthemaster1234
-
- Thành viên
-
- 550 Bài viết
Thiếu úy
- Tea Coffee yêu thích
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#2
Đã gửi 11-02-2016 - 11:10
Ego
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 296 Bài viết
Thượng sĩ
Bài này cổ lắm rồi. Có thể giải bằng số phức. Nếu $P$ là hằng số thì đó là $0$ hoặc $1$.
Giả sử $\deg{P} = d$. Đặt $Q(x) = P(x) - x^{d}$.
Có $Q(x^{2}) + x^{2d} = (Q(x) + x^{d})^{2} \implies Q(x^{2}) = Q(x)(2x^{d} + Q(x))$
Nếu $Q(x)$ khác 0 thì bậc của vế trái là $2\deg{Q}$ và bậc vế phải là $\deg{Q} + d$ với $\deg{Q} < d$ (do $P(x)$ là đa thức monic), vô lí. Do đó $ Q(x) = 0 \implies P(x) = x^{d}$.
Giả sử $\deg{P} = d$. Đặt $Q(x) = P(x) - x^{d}$.
Có $Q(x^{2}) + x^{2d} = (Q(x) + x^{d})^{2} \implies Q(x^{2}) = Q(x)(2x^{d} + Q(x))$
Nếu $Q(x)$ khác 0 thì bậc của vế trái là $2\deg{Q}$ và bậc vế phải là $\deg{Q} + d$ với $\deg{Q} < d$ (do $P(x)$ là đa thức monic), vô lí. Do đó $ Q(x) = 0 \implies P(x) = x^{d}$.
- Tea Coffee yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
