Chủ đề này có 6 trả lời

[luukhaiuy]

1,tìm tất cả các số nguyên tố p mà $p^4+2$ cũng là số nguyên tố

2,tìm tất cả các số nguyên không âm x,y thỏa mãn $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$

3,cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của $3n^2$ CMR $n^2+d$ là số chính phương khi va chi khi $d=3n^2$

4,CMR$7^{101}+13^{101}+19^{101}\vdots 39$

5,chung minh khong ton tai x,y,z nguyen thoa man $x^2+y^2+z^2=xyz-1$

6,CMR $(3+\sqrt{5})^{10}+(3-\sqrt{5})^{10}$ la so nguyen va chia het cho 1024 

[tpdtthltvp]

1,tìm tất cả các số nguyên tố p mà $p^4+2$ cũng là số nguyên tố

1.Nếu $p$ có dạng $\begin{bmatrix} 3k+1 \\ 3k-1 \end{bmatrix}$ thì $p^2\equiv 1(mod3)\Rightarrow p^2+2\equiv 0(mod3)$ không là $SNT$.

$\Rightarrow p=3k\Rightarrow p=3$

4. $7^{101}+13^{101}+19^{101}\equiv 1+1+1\equiv 0(mod3)(1)$

Và $7^{101}+13^{101}+19^{101}\equiv -6^{101}+0+6^{101}\equiv 0(mod13)(2)$

Từ $(1),(2)$ suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 11-02-2016 - 20:43

[I Love MC]

6) Ta sử dụng bổ đề sau : Cho $a,b,c \in \mathbb{Z}$ $c$ ko là số chính phương và $c>0$  
Khi đó luôn tồn tại hai số $a_n,b_n$ sao cho $(a\pm b.\sqrt{c})^n=a_n \pm b_n.\sqrt{c}$ 
Khi đó $(3+\sqrt{5})^{10}+(\sqrt{5}-3)^{10}=A+\sqrt{5}.B+A-\sqrt{5}.B=2A \in \mathbb{Z}$ 
Còn về chứng minh chia hết gợi ý là đặt $S_{n+2}=aS_{n+1}+bS_n+c$

[I Love MC]

5) Xét $x,y,z$ trong đó tồn tại một số chia hết cho $4$ thì đều này ko xảy ra vì 
$x^2+y^2+z^2 \equiv 0,1,2 \pmod{4}$ còn $xyz-1 \equiv 3 \pmod{4}$ 
Xét $x,y,z$ đều không chia hết cho $4$ 
Thì $VT \equiv 3 \pmod{4}$ 
Suy ra điều kiện phải thỏa mãn là $xyz \equiv 0 \pmod{4}$ vô lí vì không tồn tại số nào chia hết cho $4$ 
$\Rightarrow$ đpcm

[thaibuithd2001]

bài 2 nếu đặt $y+1=k^2$ rồi suy ra $k^2-1=y$ bài toán trở thành $x^2=k^4-2k+k+1$ , tới đây chia 2 trường hợp $k \geq 0$ và $k \leq -1$ rồi kẹp lại là ra 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 11-02-2016 - 22:32

[I Love MC]

3) Đặt $3n^2=dk$ suy ra $\frac{3n^2}{k}=d$ 
Khi đó $n^2+d=\frac{3n^2}{k}+n^2=m^2$ 
Suy ra $3n^2k+(nk)^2=(mk)^2$ 
Suy ra $k^2+3k=\frac{m^2k^2}{n^2}$ là số chính phương 
Đặt $k^2+3k=a^2$ 
$4k^2+12k+9-9=a^2$ 
$(2k+3)^2-a^2=9$ 
Từ đây tìm ra $k=1,a=4$ suy ra $3n^2=d$ 

[thaibuithd2001]

6) Ta sử dụng bổ đề sau : Cho $a,b,c \in \mathbb{Z}$ $c$ ko là số chính phương và $c>0$  
Khi đó luôn tồn tại hai số $a_n,b_n$ sao cho $(a\pm b.\sqrt{c})^n=a_n \pm b_n.\sqrt{c}$ 
Khi đó $(3+\sqrt{5})^{10}+(\sqrt{5}-3)^{10}=A+\sqrt{5}.B+A-\sqrt{5}.B=2A \in \mathbb{Z}$ 
Còn về chứng minh chia hết gợi ý là đặt $S_{n+2}=aS_{n+1}+bS_n+c$

Dựa trên ý tưởng của ông,không biết đúng hay không, nếu ngay từ đầu ta cho dãy số sau:

$\left\{\begin{matrix} & u_{1}=6 & \\ & u_{2}=28 & \\ & u_{n+1}=6u_{n}-4u_{n-1} & \end{matrix}\right.$

Dễ chứng minh $CTTQ$ của dãy là $u_{n}=(3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n$ (có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc dùng phương trình đặc trưng theo $CTTH$) 

Từ cách cho dãy số ta dễ thấy là mọi số hạng của dãy đều là số nguyên , mà $(3+\sqrt{5})^{10}+(3-\sqrt{5})^{10}$ chính là $u_{10}$ do đó nguyên , rồi từ $CTTH$ ta có thể tính được $u_{8}$ và $u_{9}$ rồi dùng đồng dư chứng minh $6u_{9}-4u_{8}$ $\vdots$ $1024$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 12-02-2016 - 14:48