Chủ đề này có 10 trả lời

[Zaraki]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $P$ là một điểm trên phân giác góc $BAC$. $PB,PC$ lần lượt cắt $CA, AB$ tại $E,F$. Gọi $EF$ cắt $(O)$ tại $M, N$. Đường thẳng vuông góc với $PM, PN$ lần lượt tại $M,N$ theo thứ tự cắt $(O)$ tại $S,T$ khác $M,N$.

Chứng minh rằng $ST\parallel BC$.

Thầy Trần Quang Hùng

 

[viet nam in my heart]

Giả sử $(PNC)$ cắt $AC$ tại điểm thứ hai $Y$ và $(PMB)$ cắt $AB$ tại điểm thứ hai $X$. $BP.CP$ cắt lại đường tròn tại $K,H$

Dễ thấy chỉ cần chứng minh $\widehat{PNC}=\widehat{PMB}$. Suy ra chỉ cần chứng minh $\widehat{PXA}=\widehat{PYA}$.

Do đó chỉ cần chứng minh $\triangle AXP = \triangle AYP \Leftrightarrow AX=AY$ 

Ta có: $\triangle MXA \backsim MPK(g.g) \Leftrightarrow AX=\dfrac{PK.MA}{MK}=PK.\dfrac{sin \widehat{MKA}}{sin \widehat{MAK}}=PK.\dfrac{sin \widehat{MBF}}{sin \widehat{MBE}}=PK.\dfrac{MF}{ME}.\dfrac{BE}{BF}$

Chứng minh tương tự thì ta cần chứng minh $PK.\dfrac{MF}{ME}.\dfrac{BE}{BF}=PH.\dfrac{NE}{NF}.\dfrac{CF}{CE}$

Lại có: $\dfrac{PK}{PH}=\dfrac{PC}{PB}, FM.FN=FA.FB,EM.EN=EA.EC$

Suy ra cần chứng minh: $\dfrac{BE}{BP}.\dfrac{CP}{CF}.\dfrac{AF}{AE}=1 (1)$

Áp dụng định lý $Menelaus$ cho tam giác $CPE$ với $B,F,A$ thẳng hàng ta được:$\dfrac{BP}{BE}.\dfrac{AE}{AC}.\dfrac{FC}{FP}=1 (2)$

Từ (1) và (2) ta cần chứng minh: $\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{PF}{PC}$ (đúng do $AP$ là phân giác của $\widehat{FAC})$

Cách làm của em mang tính đại số hơi nhiều.Ai có cách giải thuần túy hình học thì post lên nhé

[dogsteven]

Bài toán này chỉ là trường hợp đặc biệt của bài toán sau:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ khác $B$ và $C$. Gọi $P$ là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng thẳng $AD$ khác $A$ và $D$. $BP$ cắt $AC$ tại $E$. $CP$ cắt $AB$ tại $F$ và $EF$ cắt $(O)$ tại $M,N$ sao cho $M$ gần $E$ hơn $F$. $MN, MP$ và $NP$ cắt $BC$ lần lược tại $R,S,T$. Khi đó $AR, SN$ và $TM$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$

[baopbc]

[HIDE]Cách làm của em mang tính đại số hơi nhiều.Ai có cách giải thuần túy hình học thì post lên nhé [/H

Có nhiều bài toán gần như không thể xử lý bằng phương pháp thuần túy. Nếu có thì có thể là sử dụng một số kiến thức ở bậc THPT chẳng hạn>

Như bài tuần 3 tháng 1 tại Mỗi tuần một bài toán./

P/s: Nếu ai có lời giải thuần túy thì mình rất vui lòng được biết :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 13-02-2016 - 21:39

[viet nam in my heart]

Có nhiều bài toán gần như không thể xử lý bằng phương pháp thuần túy. Nếu có thì có thể là sử dụng một số kiến thức ở baacjTHPT chẳng hạn>

Như bài tuần 3 tháng 1 tại Mỗi tuần một bài toán./

P/s: Nếu ai có lời giải thuần túy thì mình rất vui lòng được biết

Mình nghĩ bài này thầy Hùng ra cho THCS nên có lẽ sẽ có cách biến đổi đại số đơn giản hơn(cách của mình phải dùng định lý $Sin$ hơi vượt THCS một chút) hoặc dùng các bổ đề phụ để giải

 

Bài toán này chỉ là trường hợp đặc biệt của bài toán sau:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ khác $B$ và $C$. Gọi $P$ là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng thẳng $AD$ khác $A$ và $D$. $BP$ cắt $AC$ tại $E$. $CP$ cắt $AB$ tại $F$ và $EF$ cắt $(O)$ tại $M,N$ sao cho $M$ gần $E$ hơn $F$. $MN, MP$ và $NP$ cắt $BC$ lần lược tại $R,S,T$. Khi đó $AR, SN$ và $TM$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$

Nếu dùng bài toán tổng quát này của bác chắc phải kiến thức THPT rồi 

[kb1212]

Bài toán này chỉ là trường hợp đặc biệt của bài toán sau:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ khác $B$ và $C$. Gọi $P$ là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng thẳng $AD$ khác $A$ và $D$. $BP$ cắt $AC$ tại $E$. $CP$ cắt $AB$ tại $F$ và $EF$ cắt $(O)$ tại $M,N$ sao cho $M$ gần $E$ hơn $F$. $MN, MP$ và $NP$ cắt $BC$ lần lược tại $R,S,T$. Khi đó $AR, SN$ và $TM$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$

chứng minh bài toán này như thế nào vậy bác, em chứng minh được 3 đường thẳng đồng qui rồi mà không chứng minh nó đồng qui trên đường tròn được

[viet nam in my heart]

Bài toán này chỉ là trường hợp đặc biệt của bài toán sau:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ khác $B$ và $C$. Gọi $P$ là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng thẳng $AD$ khác $A$ và $D$. $BP$ cắt $AC$ tại $E$. $CP$ cắt $AB$ tại $F$ và $EF$ cắt $(O)$ tại $M,N$ sao cho $M$ gần $E$ hơn $F$. $MN, MP$ và $NP$ cắt $BC$ lần lược tại $R,S,T$. Khi đó $AR, SN$ và $TM$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$

 

chứng minh bài toán này như thế nào vậy bác, em chứng minh được 3 đường thẳng đồng qui rồi mà không chứng minh nó đồng qui trên đường tròn được

Bài này chứng minh bằng kiến thức THPT thì đơn giản thôi. Chỉ cần biến đổi tỉ số kép của các điểm trên đường thẳng và đường tròn và áp dụng 2 định lý của tỷ số kép về sự đồng quy và thẳng hàng là sẽ chứng minh được. Mình sẽ trình bày vắn tắt cách chứng minh của mình. 

 arsenal-desktop-1024x768.jpg   45.88K   3 Số lần tải

Gọi $X$ là giao điểm của $AR$ với $(O)$. $Q$ là giao của $AN$ với $BC$. $K$ là giao của tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ với $BC$

       $U$ là giao điểm thứ hai của $(BE)$ với $(O)$. $W$ là giao điểm của $MB$ với $CE$

Ta sẽ chứng minh $X,N,S$ thẳng hàng còn $T,X,M$ thẳng hàng chứng minh tương tự

Tương đương: $A(XNSC)=C(XNSA) \Leftrightarrow (RQSC)=C(XNBA) \Leftrightarrow (RQSC)=A(XNBA) \Leftrightarrow  (RQSC)=(RQBK)$

Do đó chỉ cần chứng minh: $KF,PQ,BM$ đồng quy là xong hay là cần chứng minh $KF,PQ,BW$ đồng quy

Tương đương: $(CWPF)=(CBQK) \Leftrightarrow B(CWPF)=A(CBQK) \Leftrightarrow (CMUA)=(CBNA) \Leftrightarrow (CMUA)=(CBNA) $

Lại có: $(CMUA)=E(CMUA)=(ANBC)=(CBNA)$(điều phải chứng minh)

Vậy $AR, SN$ và $TM$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 21-02-2016 - 17:58

[dogsteven]

Bài này chứng minh bằng kiến thức THPT thì đơn giản thôi. Chỉ cần biến đổi tỉ số kép của các điểm trên đường thẳng và đường tròn và áp dụng 2 định lý của tỷ số kép về sự đồng quy và thẳng hàng là sẽ chứng minh được. Mình sẽ trình bày vắn tắt cách chứng minh của mình.
arsenal-desktop-1024x768.jpg
Gọi $X$ là giao điểm của $AR$ với $(O)$. $Q$ là giao của $AN$ với $BC$. $K$ là giao của tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ với $BC$
$U$ là giao điểm thứ hai của $(BE)$ với $(O)$. $W$ là giao điểm của $MB$ với $CE$
Ta sẽ chứng minh $X,N,S$ thẳng hàng còn $T,X,M$ thẳng hàng chứng minh tương tự
Tương đương: $A(XNSC)=C(XNSA) \Leftrightarrow (RQSC)=C(XNBA) \Leftrightarrow (RQSC)=A(XNBA) \Leftrightarrow (RQSC)=(RQBK)$
Do đó chỉ cần chứng minh: $KF,PQ,BM$ đồng quy là xong hay là cần chứng minh $KF,PQ,BW$ đồng quy
Tương đương: $(CWPF)=(CBQK) \Leftrightarrow B(CWPF)=A(CBQK) \Leftrightarrow (CMUA)=(CBNA) \Leftrightarrow (CMUA)=(CBNA) $
Lại có: $(CMUA)=E(CMUA)=(ANBC)=(CBNA)$(điều phải chứng minh)
Vậy $AR, SN$ và $TM$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$

Gọi K là giao của AR và (O) thì chứng minh được K(ANBC)=A(KMCB)
Từ đó suy ra dpcm.

[dogsteven]

Em mới nhận được một lời giải rất ngắn gọn cho bài này từ anh Nguyễn Trần Hữu Thịnh:

$PM, PN$ cắt $(O)$ tại $Q,R$ thì ta chỉ cần chứng minh $QR || BC$

$BP, CP$ cắt $(PAC)$ và $(PAB)$ tại $K, L$

Dễ dàng chứng minh $BCKL$ và $KLNKM$ nội tiếp và từ đây biến đổi góc sẽ có điều phải chứng minh.

[viet nam in my heart]

Em mới nhận được một lời giải rất ngắn gọn cho bài này từ anh Nguyễn Trần Hữu Thịnh:

$PM, PN$ cắt $(O)$ tại $Q,R$ thì ta chỉ cần chứng minh $QR || BC$

$BP, CP$ cắt $(PAC)$ và $(PAB)$ tại $K, L$

Dễ dàng chứng minh $BCKL$ và $KLNKM$ nội tiếp và từ đây biến đổi góc sẽ có điều phải chứng minh.

Em nghĩ lòi giải trên bắt nguồn từ trường hợp $P$ trùng $I$. Nó đã trở thành một phần trong bài làm của anh Đào Vũ Quang trong TST 2016. Từ lời giải của anh Quang thì ta mở rộng được lời giải như trên khá đẹp mắt. Lời giải trong trường hợp đó hay trường hợp mở rộng khá giống nhau. Như vậy đã giải quyết được bài này thuần túy hình học. Lời giải của anh Quang xem tại https://nguyenvanlin...etnam-tst-2016/(cách 2 của bài 3)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 20-05-2016 - 20:48

[dogsteven]

Em nghĩ lòi giải trên bắt nguồn từ trường hợp $P$ trùng $I$. Nó đã trở thành một phần trong bài làm của anh Đào Vũ Quang trong TST 2016. Từ lời giải của anh Quang thì ta mở rộng được lời giải như trên khá đẹp mắt. Lời giải trong trường hợp đó hay trường hợp mở rộng khá giống nhau. Như vậy đã giải quyết được bài này thuần túy hình học. Lời giải của anh Quang xem tại https://nguyenvanlin...etnam-tst-2016/(cách 2 của bài 3)

 

Anh Nguyễn Trần Hữu Thịnh có một mở rộng như sau, cách giải tương tự:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $AX, AY$ là hai đường đẳng giác trong góc $A$ sao cho $XY || BC$. $D$ là giao điểm của phân giác góc $A$ với $XY$. $BX$ cắt $AC$ tại $E$ và $CY$ cắt $AB$ tại $F$. $EF$ cắt $(O)$ tại $M, N$. $DM, DN$ cắt $(O)$ tại $P,Q$. Khi đó $PQ || BC$.