Đến nội dung

Hình ảnh

[Đại số]THPT tháng 12: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geqslant k\left| \sum\frac{a^3-b^3}{a+b} \right|$

vmeo

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Tìm hằng số $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức \[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geqslant k\left|\frac{a^3-b^3}{a+b}+\frac{b^3-c^3}{b+c}+\frac{c^3-a^3}{c+a}\right|\] luôn đúng với mọi số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)>0$.
Nguyễn Văn Huyện

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Dễ thấy $k\geqslant 0$. Nếu $a=b$ hoặc $b=c$ hoặc $c=a$ thì bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng nên ta chỉ cần xét $(a-b)(b-c)(c-a)\ne 0$

Nếu bất đẳng thức trên đúng với mọi $a,b,c\geqslant 0$ thì cũng đúng với khi $a,b\geqslant 0$ và $c=0$

Bất đẳng thức tương đương với: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant \dfrac{k\left|(a-b)(b-c)(c-a)\right|(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Không mất tính tổng quát, ta xét $c=\text{min}\{a,b,c\}$.

Bằng biến đổi tương đương, ta chứng minh được: $\dfrac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \dfrac{1}{a+b-2c}$

Từ điều này suy ra bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực $a,b,c$ nếu nó đúng với $a,b\geqslant 0$ và $c=0$

Như vậy bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi nó đúng khi một biến bằng $0$

Như vậy $k=\text{min} \dfrac{(x^2-x+1)(x+1)}{x(x-1)}$ với $x>1$ hay $k=\sqrt{9+6\sqrt{3}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $\left(a,b,c\right)\sim \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}, 1, 0\right)$ và các hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 12-02-2016 - 20:37

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Anh dogsteven làm vậy thì chết em rồi! :(

Em giải thế này: P/s: Sai ở đâu nhờ các anh tìm giúp:

2.1) Cho c=0, ta được$a^{2}+b^{2}-ab\geq k\left | \frac{ab(a-b)}{a+b} \right |$(*)

Không giảm tính tổng quát, giả sử a>b thì (*) tương đương với

$k\leq \frac{(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)}{ab(a-b)}=\frac{a^{3}+b^{3}}{ab(a-b)}$

Lại có:$\frac{a^{3}+b^{3}}{ab(a-b)}> \frac{a+b}{a-b}> 1$

Cho $a\rightarrow b$ và $b\rightarrow 0$ thì $\frac{a^{3}+b^{3}}{ab(a-b)}\rightarrow 1$

Vậy k lớn nhất bằng 1

Ta chứng minh k=1 là giá trị lớn nhất cần tìm tức là chứng minh:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac\geq \left | \sum \frac{a^{3}-b^{3}}{a+b} \right |=\left |\sum (a^{2}-b^{2}-\frac{ab(a-b)}{a+b} \right |=$$\left | \sum \frac{ab(a-b)}{a+b} \right |$

Trước tiên ta có đánh giá sau:$a(a-b)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{3}+ab^{2}\geq 2a^{2}b\Leftrightarrow (a^{2}+ab)(a+b)\geq 4a^{2}b\Leftrightarrow \frac{a^{2}+ab}{2}\geq \frac{2a^{2}b}{a+b}$

Không mất tính tổng quát giả sử: $\sum \frac{ab(a-b)}{a+b}\geq 0$ thì:

Vế phải=$\sum \frac{ab(a-b)}{a+b}$=$\sum \frac{2a^{2}b}{a+b}-\sum ab\leq \sum \frac{a^{2}+ab}{2}-\sum ab=\frac{\sum a^{2}-\sum ab}{2}\leq \sum a^{2}-\sum ab$=vế trái

Vậy bất đẳng thức đúng $\Rightarrow$ k=1 là giá trị lớn nhất cần tìm



#4
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Anh dogsteven làm vậy thì chết em rồi! :(

Em giải thế này: P/s: Sai ở đâu nhờ các anh tìm giúp:

2.1) Cho c=0, ta được$a^{2}+b^{2}-ab\geq k\left | \frac{ab(a-b)}{a+b} \right |$(*)

Không giảm tính tổng quát, giả sử a>b thì (*) tương đương với

$k\leq \frac{(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)}{ab(a-b)}=\frac{a^{3}+b^{3}}{ab(a-b)}$

Lại có:$\frac{a^{3}+b^{3}}{ab(a-b)}> \frac{a+b}{a-b}> 1$

Cho $a\rightarrow b$ và $b\rightarrow 0$ thì $\frac{a^{3}+b^{3}}{ab(a-b)}\rightarrow 1$

Vậy k lớn nhất bằng 1

Ta chứng minh k=1 là giá trị lớn nhất cần tìm tức là chứng minh:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac\geq \left | \sum \frac{a^{3}-b^{3}}{a+b} \right |=\left |\sum (a^{2}-b^{2}-\frac{ab(a-b)}{a+b} \right |=$$\left | \sum \frac{ab(a-b)}{a+b} \right |$

Trước tiên ta có đánh giá sau:$a(a-b)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{3}+ab^{2}\geq 2a^{2}b\Leftrightarrow (a^{2}+ab)(a+b)\geq 4a^{2}b\Leftrightarrow \frac{a^{2}+ab}{2}\geq \frac{2a^{2}b}{a+b}$

Không mất tính tổng quát giả sử: $\sum \frac{ab(a-b)}{a+b}\geq 0$ thì:

Vế phải=$\sum \frac{ab(a-b)}{a+b}$=$\sum \frac{2a^{2}b}{a+b}-\sum ab\leq \sum \frac{a^{2}+ab}{2}-\sum ab=\frac{\sum a^{2}-\sum ab}{2}\leq \sum a^{2}-\sum ab$=vế trái

Vậy bất đẳng thức đúng $\Rightarrow$ k=1 là giá trị lớn nhất cần tìm

Bạn coi lại chỗ này giúp, chắc sai chỗ này vì cái $\dfrac{a^3+b^3}{ab(a-b)}$ có giá trị nhỏ nhất là $\sqrt{9+6\sqrt{3}}$, cỡ $4.4$ nên để thằng đó dần đến $1$ thì thấy hơi vô lý.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Một bài tương tự:

Tìm tất cả các số thực $k$ để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm $a,b,c$:

\[k\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\right)\leqslant \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{3k-2}{2}\]

(Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, trang 604)

Không biết hai bất đẳng thức này có tương đương không mà điểm rơi giống nhau và thằng $k$ cũng chả khác nhau mấy.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#6
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

Một bài tương tự:

Tìm tất cả các số thực $k$ để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm $a,b,c$:

\[k\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\right)\leqslant \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{3k-2}{2}\]

(Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, trang 604)

Không biết hai bất đẳng thức này có tương đương không mà điểm rơi giống nhau và thằng $k$ cũng chả khác nhau mấy.

BĐT này tương đương với:

$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\geq\frac{k(a-b)(a-c)(b-c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ nên nó gần như giống với đề tháng 12 này, chỉ khác ở chỗ một bên là $k$ với dấu giá trị tuyệt đối, một bên là $\frac{k}{2}$.


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#7
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

BĐT này tương đương với:

$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\geq\frac{k(a-b)(a-c)(b-c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ nên nó gần như giống với đề tháng 12 này, chỉ khác ở chỗ một bên là $k$ với dấu giá trị tuyệt đối, một bên là $\frac{k}{2}$.

 Thực ra thì bỏ dấu giá trị tuyệt đối vào kết quả cho $k$ cũng không khác nhau là mấy vì khi giảm $a,b,c$ đi cùng một lượng thì các đại lượng trên cũng không đổi, và ý tưởng của bài này cũng là đưa một biến về $0$ để xét hàm còn lại 2 biến


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 12-02-2016 - 21:27


#8
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

 

Tìm hằng số $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức \[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geqslant k\left|\frac{a^3-b^3}{a+b}+\frac{b^3-c^3}{b+c}+\frac{c^3-a^3}{c+a}\right|\] luôn đúng với mọi số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)>0$.
Anh Nguyễn Văn Huyện

Bài này có lẽ được tổng quát từ bài: Moldova TST 2004

Bài đó như sau: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\left | \sum \frac{a^{3}-b^{3}}{a+b} \right |\leq \frac{\sum (a-b)^{2}}{4}$

Xem chi tiết hơn tại đây: https://mathifc.wordpress.com/page/2/



#9
hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết

Dễ thấy $k\geqslant 0$. Nếu $a=b$ hoặc $b=c$ hoặc $c=a$ thì bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng nên ta chỉ cần xét $(a-b)(b-c)(c-a)\ne 0$

Nếu bất đẳng thức trên đúng với mọi $a,b,c\geqslant 0$ thì cũng đúng với khi $a,b\geqslant 0$ và $c=0$

Bất đẳng thức tương đương với: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant \dfrac{k\left|(a-b)(b-c)(c-a)\right|(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Không mất tính tổng quát, ta xét $c=\text{min}\{a,b,c\}$.

Bằng biến đổi tương đương, ta chứng minh được: $\dfrac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \dfrac{1}{a+b-2c}$

Từ điều này suy ra bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực $a,b,c$ nếu nó đúng với $a,b\geqslant 0$ và $c=0$

Như vậy bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi nó đúng khi một biến bằng $0$

Như vậy $k=\text{min} \dfrac{(x^2-x+1)(x+1)}{x(x-1)}$ với $x>1$ hay $k=\sqrt{9+6\sqrt{3}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $\left(a,b,c\right)\sim \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}, 1, 0\right)$ và các hoán vị.

Lời giải này chưa có điều kiện đủ nhỉ?



#10
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Lời giải này chưa có điều kiện đủ nhỉ?

Em phát biểu ở dạng điều kiện cần và đủ luôn rồi anh.

Nếu bất đẳng thức đúng thì nó đúng khi một biến bằng $0$

Nếu bất đẳng thức đúng khi một biến bằng $0$ thì nó đúng.

Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi nó đúng khi một biến bằng $0$.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#11
hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết

Em phát biểu ở dạng điều kiện cần và đủ luôn rồi anh.

Nếu bất đẳng thức đúng thì nó đúng khi một biến bằng $0$

Nếu bất đẳng thức đúng khi một biến bằng $0$ thì nó đúng.

Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi nó đúng khi một biến bằng $0$.

oke, đã hiểu. Một lời giải hay. Anh đọc thiếu một chút, anh xin lỗi.



#12
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết

Dễ thấy $k\geqslant 0$. Nếu $a=b$ hoặc $b=c$ hoặc $c=a$ thì bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng nên ta chỉ cần xét $(a-b)(b-c)(c-a)\ne 0$

Nếu bất đẳng thức trên đúng với mọi $a,b,c\geqslant 0$ thì cũng đúng với khi $a,b\geqslant 0$ và $c=0$

Bất đẳng thức tương đương với: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant \dfrac{k\left|(a-b)(b-c)(c-a)\right|(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Không mất tính tổng quát, ta xét $c=\text{min}\{a,b,c\}$.

Bằng biến đổi tương đương, ta chứng minh được: $\dfrac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \dfrac{1}{a+b-2c}$

Từ điều này suy ra bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực $a,b,c$ nếu nó đúng với $a,b\geqslant 0$ và $c=0$

Như vậy bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi nó đúng khi một biến bằng $0$

Như vậy $k=\text{min} \dfrac{(x^2-x+1)(x+1)}{x(x-1)}$ với $x>1$ hay $k=\sqrt{9+6\sqrt{3}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $\left(a,b,c\right)\sim \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}, 1, 0\right)$ và các hoán vị

 

cho mình hỏi vì sao chứng minh cái bất đẳng thức cái dòng màu đỏ thì suy ra nó đúng vậy 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmeo

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh