#1
Đã gửi 12-02-2016 - 15:05
- quanghung86 yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 12-02-2016 - 15:22
Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Gọi $T$ là hình chiếu của $H$ trên $AM$. Gọi $A_1, A_2$ lần lược là điểm đối xứng của $A$ qua $BC$ và $M$. Gọi $Q$ là giao điểm của $AP$ và $BC$. Khi đó ta có $T\in (BHCA_2A_1)$ và:
$\widehat{BA_1Q}=\widehat{BAQ}=\widehat{MAC}=\widehat{A_2AC}=\widehat{BA_2T}=\widehat{BA_1T}$
Do đó $A_1, Q, T$ thẳng hàng nên $T$ đối xứng với $P$ qua $BC$
Theo định lý Steiner thì $EF$ đi qua $H$, ngoài ra $AE=AP=AF$ và
$\widehat{MAE}=\widehat{MAC}+\widehat{CAE}=\widehat{PAB}+\widehat{PAC}=\widehat{FAB}+\widehat{BAM}=\widehat{FAM}$ nên $E,F,H,T$ thẳng hàng và $T$ là trung điểm $AK$
Từ đó suy ra $PT$ là trung trực của $AL$ nên $PA=PL$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 12-02-2016 - 15:42
- Zaraki, thinhrost1, quanghung86 và 1 người khác yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#3
Đã gửi 12-02-2016 - 15:44
Do tính chất đối xứng nên AP=AF, AP=AE$\Rightarrow$AF=AE$\Rightarrow$$\Delta AEF$ cân tại A
Từ đây suy ra AK đi qua trung điểm EF. Gọi T là trung điểm EF
Theo tính chất đường trung bình thì đường thẳng qua T và vuông góc với BC sẽ đi qua trung điểm AL và vuông góc với AL(*)
Vậy ta chỉ cần chứng minh PT vuông góc với BC.
X,Y,Z là chân đường vuông góc kẻ từ P tới BC,CA,AB.Ta có X,Y,Z thẳng hàng(theo tính chất của đường thẳng Simson) và YZ song song với EF
Dễ thấy $\Delta YPZ$ đồng dạng với $\Delta CPB$(g.g) (1) và $\angle XPY=\angle ACB$
Do AP là đối trung của tam giác ABC nên Pa là đối trung của tam giác BPC
Gọi M là trung điểm BC, ta có $\angle MPC=\angle APB=\angle ACB=\angle XPY$( theo tính chất đối trung)(2)
Từ (1)(2) ta suy ra X là trung điểm YZ$\Rightarrow$PX đi qua T$\Rightarrow$PT vuông góc với BC(**)
Từ (*)(**) ta suy ra tam giác PAL cân tại P$\Rightarrow$PA=PL(đpcm)
- Zaraki, quanghung86 và ineX thích
#4
Đã gửi 12-02-2016 - 17:44
Untitled17.png 52.45K 0 Số lần tải
Gọi $D$ là giao của $AK$ và $EF$, $N$ là giao của $AM$ với $(O)$, $Q$ là giao điểm của $PF$ với $AB$ và $T$ là giao điểm của $PE$ với $AC$.
Trước tiên, ta sẽ chứng minh $D$ là giao của $AM$ và $EF$.
Giả sử $D'$ là giao của $AM$ và $EF$ vậy thì ta sẽ chứng minh $AD'\perp EF$:
Thật vậy: $TQ$ là đường trung bình của tam giác $PEF$ nên $TQ//EF$.
Nhận thấy tứ giác $AQPT$ nội tiếp (vì có $\widehat{AQP}=\widehat{ATP}=90^{\circ}$)
Nên $\widehat{APQ}=\widehat{ATQ}$
Kết hợp với $AP$ là đường đối trung của tam giác ABC dẫn đến:
$\widehat{MAT}+\widehat{ATQ}=\widehat{QAP}+\widehat{APQ}=90^{\circ}$
Do đó: $AD'\perp EF$ nên $D'\equiv D$
Ta có: $\Delta BNC=\Delta CPB(g-c-g)$ nên dẫn đến $BCNP$ là hình thang cân suy ra $OM$ là đường trung trực của $NP$ nên $MN=MP$
Nếu lấy điểm $D''$ thuộc tia $MA$ thỏa mãn $MD''=MN$ thì $D''$ sẽ đối xứng với $P$ qua $BC$.
Theo tính chất đường thẳng Steiner thì $F,D'',E$ thẳng hàng, mà $D''$ là giao của $EF$ với $AM$ nên $D''\equiv D$
$=>PD\perp AL$ (1)
Lại xét tam giác vuông $LAK$ có $DA=DK$ nên $DA=DL$ dẫn đến $D$ thuộc đường trung trực của $AL$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $PD$ chính là đường trung trực của $AL$.
Vậy $PA=PL$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 12-02-2016 - 17:44
- Zaraki, quanghung86, ineX và 1 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 12-02-2016 - 22:37
Lưu ý : Bài toán đúng với mọi điểm $P$ di chuyển trên đường đối trung tại đỉnh $A$
CM : Gọi $AM$ cắt $EF$ tại $Q$, trung trực $PQ$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $B_1,C_1$ ta được cấu hình như bài toán đầu.
- perfectstrong, Zaraki, quanghung86 và 2 người khác yêu thích
$ \textbf{NMQ}$
Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come
Just take off her or give me a ride
Give me one day or one hour or just one minute for a short word
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmeo
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh