Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
mathslover

mathslover

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

1) Cho a,b,c >0 và $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chứng minh rằng $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$

 

2) Cho a,b,c >0 và $\sum \frac{1}{a+b+1}\geq 1$

Chứng minh rằng $a+b+c\geq ab+ac+bc$



#2
luukhaiuy

luukhaiuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết

2, do $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geq 1$

nen $(1-\frac{1}{a+b+1})+(1-\frac{1}{b+c+1})+(1-\frac{1}{c+a+1})\leq 2$

hay $\frac{a+b}{a+b+1}+\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\leq 2$

hay $\frac{(2a+2b+2c)^2}{(a+b)(a+b+1)+(b+c)(b+c+1)+(c+a)(c+a+1)}\leq \frac{(a+b)^2}{(a+b)(a+b+1)}+\frac{(b+c)^2}{(b+c)(b+c+1)}+\frac{(c+a)^2}{(c+a)(c+a+1)}\leq 2$

hay $(2a+2b+2c)^2\leq 2((a+b+1)(a+b)+(b+c+1)(b+c)+(c+a+1)(c+a))$

hay $a+b+c\geq ab+bc+ca$



#3
luukhaiuy

luukhaiuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết

1) Cho a,b,c >0 và $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chứng minh rằng $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$

giải 

ap dung BDT cauchy-schwarz ta co $\frac{3}{a+b+c}\leq \frac{1}{3}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

ta sẽ chứng minh $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{3}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{2}{abc}$

hay $\frac{2}{3}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{2}{abc} \Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 3$

thật vậy  $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow (a+b+c)abc\geq ab+bc+ca$

mã $3(a+b+c)abc\leq (ab+bc+ca)^2$ (Dễ dàng chứng minh bằng biến đổi tương đương)

nen $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)\geq 3(ab+bc+ca)\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 3$

do đó bất đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{3}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{2}{abc}$

suy ra $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{1}{3}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{2}{abc}\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luukhaiuy: 12-02-2016 - 16:54





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh