C1) tìm các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ tm : $xyz=$ $x^{2}-2z+2$
C2) tìm nghiệm nguyên của phương trình : x^2 + 17.y^2 + 34.x.y + 51(x+y) = 1740
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimchitwinkle: 12-02-2016 - 21:50
C1) tìm các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ tm : $xyz=$ $x^{2}-2z+2$
C2) tìm nghiệm nguyên của phương trình : x^2 + 17.y^2 + 34.x.y + 51(x+y) = 1740
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimchitwinkle: 12-02-2016 - 21:50
2) Vì $x,y,z \ne 0$ nên phương trình $\Leftrightarrow z=\frac{x^2+2}{xy+2}$
TH1: $x$ chẵn vậy thì đặt $x=2k (k \in \mathbb{N*})$
$z=\frac{x^2+2}{xy+2}=\frac{2k^2+1}{ky+1}$
Vì $(k,ky+1)=1$ suy ra $(2k^3+k).y^2 \vdots ky+1$
Xét $2k^3y^2+ky^2=2k^2y(ky+1)-2k(ky+1)+2k+ky^2+y-y$
Suy ra $(2k-y) \vdots ky+1$ nên $2k-y-ky-1 \ge 0$
Suy ra $(2-y)(k+1) \ge 3>0$
Suy ra $2-y>0$ do $k+1>0$ suy ra $y=1$ và giải ra được $x,z$
TH2 : $x$ lẻ tương tự với trường hợp tuy nhiên ta sẽ không đặt $x=2k+1$
Mà nhận thấy $(x,xy+2)=1$
Nên suy ra $(x^3+2x)y^2 \vdots xy+2$
Và làm tt trường hợp $1$
Có vẻ hơi dài thì phải !!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 12-02-2016 - 21:36
Mình thấy có cách giải này hay và nhanh hơn . Nếu $z=1$ thì $(x,y,z)=(k,k,1)$ là một nghiệm $k \in \mathbb{N^*}$
Xét $z \ge 2$ thì theo giả thiết ta có $2z-2=tx$ (tức $2z-2$ chia hết cho $x$)
Từ phương trình ta viết lại thành $\frac{2(x-t)}{tx+2}=y$
Suy ra $2(x-t) \ge tx+2$ (do $2(x-t)$ chia hết cho $tx+2$ và $y \in \mathbb{Z}$)
Hay $(2-t)x \ge 2(t+1)>0$ vì $x>0$ suy ra $2-t>0$ suy ra $t=1 (t \in \mathbb{Z})$
Suy ra $y=\frac{2(x-1)}{x+2}=2-\frac{6}{x+2}$
Suy ra $y<2$ và $\frac{6}{x+2}=1$ nên $x=4$ và $y=1$
Nên $z=(tx+2)/2=3$
Vậy nghiệm của phương trình là $(x,y,z)=(k,k,1),(4,1,3)$
Thân
Sol by Plexsus
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 13-02-2016 - 19:52
Mình thấy có cách giải này hay và nhanh hơn . Nếu $z=1$ thì $(x,y,z)=(k,k,1)$ là một nghiệm $k \in \mathbb{N^*}$
Xét $z \ge 2$ thì theo giả thiết ta có $2z-2=tx$ (tức $2z-2$ chia hết cho $x$)
Từ phương trình ta viết lại thành $\frac{2(x-t)}{tx+2}=y$
Suy ra $2(x-t) \ge tx+2$ (do $2(x-t)$ chia hết cho $tx+2$ và $y \in \mathbb{Z}$)
Hay $(2-t)x \ge 2(t+1)>0$ vì $x>0$ suy ra $2-t>0$ suy ra $t=1 (t \in \mathbb{Z})$
Suy ra $y=\frac{2(x-1)}{x+2}=2-\frac{6}{x+2}$
Suy ra $y<2$ và $\frac{6}{x+2}=1$ nên $x=4$ và $y=1$
Nên $z=(tx+2)/2=3$
Vậy nghiệm của phương trình là $(x,y,z)=(k,k,1),(4,1,3)$
Nếu đây không phải là lời giải của em, mong em hãy ghi nguồn lời giải.
Lời giải là của Solar Plexsus tại đây.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Giải phương trình nghiệm nguyên: $pqr + q + r = 2$Bắt đầu bởi Khanh12321, 25-04-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$xy(x^2+y^2)+x^3+y^3=19$Bắt đầu bởi Duc3290, 21-04-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Tổ hợp và rời rạc →
Một số bài toán tổ hợp liên quan đến phương trình nghiệm nguyênBắt đầu bởi hxthanh, 01-04-2024 phần nguyên, phân hoạch và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình →
$x^{y}-x=y^{x}-y$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 08-02-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$\frac{2023}{x + y}+\frac{x}{y+2022}+\frac{y}{4045}+\frac{2022}{x + 2023}=2$Bắt đầu bởi datzv423, 25-03-2023 đại số và . |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh