Đến nội dung

Hình ảnh

Toán học trong điện tâm đồ: Chuỗi Fourier

- - - - -

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Tôi đi khám sức khỏe có đo điện tâm đồ. Dưới đây là ảnh điện tâm đồ của tôi.

 

ecg_sm3.jpg

 

I. ĐIỆN TÂM ĐỒ HOẠT ĐỘNG THẾ NÀO?


Ảnh chụp màn hình_2016-02-12_210529.png

Các điện cực được kết nối với nhiều vị trí trên cơ thể bạn (ngực, cẳng chân, tay, bàn chân) sử dụng hiệu điện thế để đo đạc và đọc ra điện tâm đồ.

 

Trục tung của điện tâm đồ là thời gian còn trục hoành là biên độ điện thế.

ecg-reference-pulse.png

Đơn vị biên độ là milivolt ($\text{mV}$) và trên đồ thị, $1\text{ mV}$ có chiều cao bằng $10\text{ mm}$. Thời gian đo là $25\text{ mm}=1\text{ giây}$ (hay $1\text{ mm}$ mỗi $0.04\text{ giây}$ trên đồ thị).

 

Dưới đây là kết quả của tôi theo Chuyển đạo II, biểu diễn hiệu điện thế giữa điện cực dương ở chân trái và điện cực ở tay phải. Mỗi đường thẳng đứng mỏng màu đỏ biểu diễn thời gian 1 giây.

 

ecg-II.gif

 

Theo bác sĩ, kết quả này cho thấy tim tôi vẫn khỏe mạnh.

 

Chi tiết thêm, nét đặc trưng của xung lặp lại mà ta đang nhìn như sau:

 

ecg-PQRSTwaves.gif

 

Sóng $P$ hình thành bởi sự co của tâm nhĩ phải theo sau tâm nhĩ trái (buồng nằm phần đầu của tim).

 

Phức hợp $QRS$ biểu diễn điểm theo thời gian mà các cơ tim hoạt động nhiều nhất, vì vậy điểm này có biên độ cao nhất.

 

Sóng $T$ biểu diễn độ phân cực của tâm thất (buồng nằm phần dưới của tim).

ecg-heart.png

Tim người với tâm nhĩ và tâm thất

 

II. MÔ HÌNH HÓA NHỊP TIM BẰNG CHUỖI FOURIER

 

Nhịp tim có tính đều đặn (nếu không thì chắc chắn tim có vấn đề). Về toán học, ta gọi một hiện tượng lặp đi lặp lại đều đặn là chu kỳ. Ta có thể biểu diễn một số sóng dưới dạng chuỗi Fourier.

 

1. Giả thuyết

 

Nhịp tim của tôi đập khoảng 70 nhịp/phút. Để đơn giản hóa, tôi giả định rằng nhịp tim của tôi là 60 nhịp/phút hay 1 nhịp/giây, vậy chu kỳ là 1 giây hay 1000 mili giây ($\text{ms}$).

 

Cũng vì mục đích đơn giản, trong bài viết này tôi chỉ mô hình sóng $R$. Để thu được mô hình nhịp tim tốt hơn, tôi chỉ cần làm quy trình tương tự với sóng $P,~Q,~S$ và $T$ và thêm vào mô hình của tôi.

 

Tôi quan sát rằng sóng $R$ của tôi cao khoảng $2.5~\text{mV}$ và kéo dài trong vòng $40~\text{ms}$. Hình dạng của sóng $R$ gần như là hình tam giác nên trng mô hình, tôi có thể dùng các đường thẳng, nhưng điều này sẽ không tạo ra được đường cong trơn (nhất là ở phần đỉnh, chỗ này phải khả vi liên tục).

 

Một hướng tiếp cận tốt hơn đó là dùng đa thức (với những đường đi lên và đi xuống rất gần với dạng đường thẳng), vì vậy mô hình của tôi như sau (đơn vị thời gian mà mili giây):

                            $$f\left( t \right)=-0.0000156{{\left( t+20 \right)}^{4}}+2.5$$

                                              $$f\left( t \right)=f\left( t+1000 \right)$$

2. Giải thích mô hình

 

Mô hình dựa trên hàm bậc 4 vì hàm này gần với dạng đồ thị tôi cần (hình parabol thì quá rộng).

 

Biểu thức $\left( t-20 \right)$ xuất phát từ việc đường cong bắt đầu ở $\left( 0,0 \right)$ (giúp mọi chuyện đơn giản hơn), đường cong sẽ đi qua điểm $\left( 40,0 \right)$ vì xung dài $40~\text{ms}$ và có tâm ở $t=20$. Còn “$+2.5$” có được do biên độ xung là $2.5~\text{mV}$, giá trị $-0.0000156$ là nghiệm khi giải phương trình sau theo $a$ khi $t=0$.

                                              $$a{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5=0$$

Phương trình $f\left( t \right)=f\left( t+1000 \right)$ có nghĩa rằng hàm số lặp lại sau mỗi $1000~\text{ms}$.

 

3. Đồ thị mô hình

 

Đây là đồ thị một phần của một chu kỳ (phần phía trên trục $t$ từ $t=0$ đến $t=40$)

ecg-model-quartic.png

Đương nhiên đây chỉ là 1 xung. Làm cách nào để ta tạo ra một đồ thị lặp lại các xung này theo những đoạn bằng nhau? Vì vậy, ta sẽ sử dụng chuỗi Fourier, chuỗi này là một chuỗi vô hạn bao gồm các biểu thức lượng giác. Khi ta thêm tất cả biểu thức, bạn sẽ được mô hình toán học của hàm số gốc có chu kỳ.

 

Để thu được chuỗi Fourier, ta cần tìm giá trị trung bình ${{a}_{0}}$ và 2 biểu thức hệ số chứa $n,{{a}_{n}}$ và ${{b}_{n}}$ dùng để nhân vào biểu thức lượng giác và cộng từ 1 đến vô cùng.

 

4. Giá trị trung bình

 

Ta tính ${{a}_{0}}$ bằng cách tính tích phân sau ($L$ là nửa chu kỳ):

       $${{a}_{0}}=\frac{1}{L}\underset{-L}{\overset{L}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt$$

          $$=\frac{1}{500}\underset{-500}{\overset{500}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)dt$$

                                                                     $$=0.16$$

Phần đường cong ta cần tính tích phân nằm từ $t=0$ đến $t=40$, cho nên đó là lý do vì sao ta chọn những giá trị này làm giới hạn tích phân ở dòng áp chót.

 

5. Hệ số ${{a}_{n}}$ đầu tiên

 

Tiếp theo, ta tính ${{a}_{n}}$:

$${{a}_{n}}=\frac{1}{L}\underset{-L}{\overset{L}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)\cos \frac{n\pi t}{L}dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{-500}{\overset{500}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)\cos \frac{n\pi t}{500}dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)\cos \frac{n\pi t}{500}dt$$

$$=-4\times {{10}^{-10}}\left( 5.57\times {{10}^{8}}{{n}^{4}}\sin \left( 0.251n \right)+8.11\times {{10}^{10}}{{n}^{3}}\cos \left( 0.251n \right)-1.94\times {{10}^{12}}{{n}^{2}}\sin \left( 0.251n \right)+2.45\times {{10}^{14}}\sin \left( 0.251n \right)-3.08\times {{10}^{13}}n\cos \left( 0.251n \right)+8.11\times {{10}^{10}}{{n}^{3}}-3.08\times {{10}^{13}}n \right)/{{n}^{5}}$$

 

Đáp án tính phân này khá xấu.

 

6. Hệ số ${{b}_{n}}$ thứ hai:

 

Bây giờ ta tính ${{b}_{n}}$:

$${{b}_{n}}=\frac{1}{L}\underset{-L}{\overset{L}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)\sin \frac{n\pi t}{L}dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{-500}{\overset{500}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)\sin \frac{n\pi t}{L}dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)\sin \frac{n\pi t}{500}dt$$

$$=4\times {{10}^{-10}}\left( 5.57\times {{10}^{8}}{{n}^{4}}\cos \left( 0.251n \right)-8.11\times {{10}^{10}}{{n}^{3}}\sin \left( 0.251n \right)-1.94\times {{10}^{12}}{{n}^{2}}\cos \left( 0.251n \right)+2.45\times {{10}^{14}}\cos \left( 0.251n \right)+3.08\times {{10}^{13}}n\sin \left( 0.251n \right)-2.45\times {{10}^{14}}-5.57\times {{10}^{8}}{{n}^{4}}+1.94\times {{10}^{12}}{{n}^{2}} \right)/{{n}^{5}}$$

 

Cuối cùng, ta ghép các biểu thức trên lại, thu được chuỗi Fourier cho mô hình nhịp tim đơn giản:

$$f\left( t \right)=\frac{{{a}_{0}}}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{a}_{n}}\cos \frac{n\pi t}{L}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{b}_{n}}\sin \frac{n\pi t}{L}$$

$$f\left( t \right)=\frac{0.16}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\left( \frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)\cos \frac{n\pi t}{500}dt \right)\cos \frac{n\pi t}{500}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\left( \frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)\sin \frac{n\pi t}{500}dt \right)\sin \frac{n\pi t}{500}$$

 

Khi ta vẽ đồ thị với 5 biểu thức đầu tiên ($n=1$ đến $5$), ta có thể thấy điểm bắt đầu của nhịp tim đều 1 giây.

 

ecg-model-5-quartic.gif

 

Đồ thị trên biểu diễn “nhiễu” trong khai triển chuỗi Fourier, nhất là khi bạn lấy không đủ biểu thức.

 

Lấy thêm nhiều biểu thức (lần này, ta lấy 100 biểu thức đầu tiên) cho ta đồ thị dưới đây, ta thấy rằng ta có được xấp xỉ tốt hợp lý cho sóng $R$ đều với chu kỳ 1 giây.

 

ecg-model2-quartic.gif

 

Tôi thêm sóng $T$ vào mô hình (màu xanh)

 

ecg-model-quartic-Twave.gif

 

Tôi dùng hình parabol để biểu diễn sóng $T$ vì hình dạng sóng $T$ rộng hơn hình dạng sóng $R$. Ta có thể thêm sóng $P,Q$ và $S$ để thu được mô hình tốt hơn.

 

Xem thêm cách giải đầy đủ (cho đến sóng $T$, sử dụng phần mềm Scientific Notebook) tại: http://www.intmath.c...artic-plusT.pdf

 

7. Ta đã làm gì?

 

Ta đã lấy từng đỉnh nhọn để đại diện cho một sóng $R$ của nhịp tim. Ta cũng tìm công thức có thể lặp lại đỉnh theo các khoảng thời gian bằng nhau. Chuỗi Fourier (tổng vô hạn các biểu thức lượng giác) đã cho ta công thức.

 

Cuối cùng, ta thêm sóng $T$, sử dụng cùng lý thuyết như trước.

 

Chuỗi Fourier rất hữu dụng trong điện tử học và âm học, nơi các sóng có tính chu kỳ.

 

Bài viết do Võ Hoàng Trọng, thành viên Chuyên san EXP dịch.

 

Nguồn: http://www.intmath.c...ier-series-4281


Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh