Chủ đề này có 5 trả lời

[happyfree]

1.Cho $a,b,c$ là các số thực dương sao cho $abc=1$.

CMR: $\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2} \geq 3$

2.Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.

CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$

3.Cho $a,b,c$ là các số thực dương

CMR:  $\frac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(c+a-b)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(a+b-c)^2}{2c^2+(a+b)^2} \geq \frac{3}{2}.\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$

4.Cho $a,b,c$ là các số thực dương

CMR: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2} \leq 8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi happyfree: 13-02-2016 - 03:08

[Hoang Nhat Tuan]

1.Cho $a,b,c$ là các số thực dương sao cho $abc=1$.

CMR: $\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2} \geq 3$

2.Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.

CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$

 

1. Giả sử $c=min(a,b,c)$ thì $ab\geq 1$

Ta có:$\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+2.\left [ \frac{1}{(a+1)^2} +\frac{1}{(b+1)^2}\right ]\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+\frac{2}{1+ab}$

Từ đó thay $ab=\frac{1}{c}$ vào rồi biến đổi tương đương ta được ĐPCM

2.BĐT tương đương:

$\sum b^2c^2\geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)$

Mặt khác: $\sum b^2c^2 \geq abc(a+b+c)$ nên chỉ cần chứng minh $a+b+c\geq abc(a^2+b^2+c^2)$

$<=>(a+b+c)+2(ab+bc+ca)abc\geq 9abc$

Sử dụng AM-GM 3 số ta được:

$(a+b+c)+2(ab+bc+ca)abc\geq 3.\sqrt[3]{(a+b+c)(ab+bc+ca)^2a^2b^2c^2}\geq 3.\sqrt[3]{27a^3b^3c^3}=9abc$

Vậy BĐT được chứng minh hoàn toàn

4.Chuẩn hóa rồi dùng UCT là OK

[Nguyenhuyen_AG]

CMR: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2} \leq 8$

 

Ta chỉ cần chứng minh

\[\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2} \leqslant \frac{4}{3}\cdot\frac{4a+b+c}{a+b+c},\]

tương đương với

\[(2a-b-c)^2(5a+b+c) \geqslant 0.\]

Vậy ta có điều phải chứng minh.

[Nguyenhuyen_AG]

1.Cho $a,b,c$ là các số thực dương sao cho $abc=1$.

CMR: $\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2} \geq 3$

 

Xem lời giải ở đây : http://diendantoanho...-3/#entry363791

 

Hoặc ở đây: http://diendantoanho...fracc3c12geq-3/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 13-02-2016 - 10:42

[hoanglong2k]

2.BĐT tương đương:

$\sum b^2c^2\geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)$

Mặt khác: $\sum b^2c^2 \geq abc(a+b+c)$ nên chỉ cần chứng minh $a+b+c\geq abc(a^2+b^2+c^2)$

$<=>(a+b+c)+2(ab+bc+ca)abc\geq 9abc$

Sử dụng AM-GM 3 số ta được:

$(a+b+c)+2(ab+bc+ca)abc\geq 3.\sqrt[3]{(a+b+c)(ab+bc+ca)^2a^2b^2c^2}\geq 3.\sqrt[3]{27a^3b^3c^3}=9abc$

Vậy BĐT được chứng minh hoàn toàn

 Có thể chứng minh như sau : 

 Ta có $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\geq \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{9}{abc(a+b+c)}\geq \dfrac{27}{(ab+bc+ca)^2}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\leq 27=\dfrac{(a+b+c)^6}{27}$ đúng theo AM-GM.

 

3.Cho $a,b,c$ là các số thực dương

CMR:  $\frac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(c+a-b)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(a+b-c)^2}{2c^2+(a+b)^2} \geq \frac{3}{2}.\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$

 Ta có $\sum \dfrac{(b-c+a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \sum \dfrac{(b-c+a)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)}{2(a^2+b^2+c^2)}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh

 $\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)}{2(a^2+b^2+c^2)}\geq \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{2[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]}\Leftrightarrow 8(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\geq 0$

 

 

[takarin1512]

4.Cho $a,b,c$ là các số thực dương

CMR: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2} \leq 8$

Ta có $2a^2+\left ( b+c \right )^2=\frac{a^2}{\frac{1}{2}}+\left ( b+c \right )^2\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2\left ( a+b+c \right )^2}{3}$

Tương tự với mấy cái còn lại

$\sum \frac{\left ( 2a+b+c \right )^2}{2a^2+\left ( b+c \right )^2}=\sum \left ( 1+\frac{2a\left ( a+2b+2c \right )}{2a^2+\left ( b+c \right )^2} \right )\leq \sum \left ( 1+\frac{3a\left ( a+2b+2c \right )}{\left ( a+b+c \right )^2} \right )=3+3\sum \frac{\sum a^2+4\sum ab}{\left ( a+b+c \right )^2}\leq 8$