Chủ đề này có 1 trả lời

[Maytroi]

Cho 4 số dương a,b,c,d . chứng minh ba bất đẳng thức sau không thể  đồng thời xảy ra : $a+b<c+d;(a+b)(c+d)<ab+cd; (a+b)cd<(c+d)ab$

( đề thi học sinh giỏi lớp 9 –vòng 1 , Yên Bái )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 13-02-2016 - 18:46

[royal1534]

Cho 4 số dương a,b,c,d . chứng minh ba bất đẳng thức sau không thể  đồng thời xảy ra : a+b<c+d;(a+b)(c+d)<ab+cd; (a+b)cd<(c+d)ab

( đề thi học sinh giỏi lớp 9 –vòng 1 , Yên Bái )

Giả sử cả ba bđt đều đúng 

Ta có $a+b<c+d$ và $ab+cd>(a+b)(c+d)$

$\rightarrow ab+cd > (a+b)^2 \geq 4ab$ (BĐT Cauchy)

$\rightarrow cd \geq 3ab$  $(1)$

-------

Ta có $(a+b)cd<(c+d)ab$ và $(c+d)(a+b)<ab+cd$

$\rightarrow (a+b)^2.cd < (c+d)(a+b)ab<(ab+cd)ab$

Mà $(a+b)^2.cd \geq 4abcd$  (BĐT Cauchy)

$\rightarrow (ab+cd)ab > 4abcd$

$\rightarrow ab > 3cd$ $(2)$

$(1);(2) \rightarrow ab+cd > 4(ab+cd) \rightarrow ab+cd<0:$Mâu thuẫn với giả thiết $a,b,c,d$ dương

$\rightarrow đpcm$